Номер 3, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §22. ч. 1 - номер 3, страница 150.

3. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x - \sin 5x}{2}$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

В) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

Г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$.

Дано тождество: $f(x) = \frac{\sin 9x - \sin 5x}{2}$.

Для преобразования числителя дроби воспользуемся тригонометрической формулой разности синусов:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 9x - \sin 5x = 2 \cos\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \sin\left(\frac{9x - 5x}{2}\right)$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$\frac{9x + 5x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x$

$\frac{9x - 5x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

Таким образом, выражение для разности синусов принимает вид:

$\sin 9x - \sin 5x = 2 \cos(7x) \sin(2x)$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходную функцию $f(x)$:

$f(x) = \frac{2 \cos(7x) \sin(2x)}{2}$

Сократив на 2, получаем окончательный вид функции:

$f(x) = \cos(7x) \sin(2x)$

Поскольку умножение коммутативно (от перемены мест множителей произведение не меняется), мы можем записать это выражение как:

$f(x) = \sin(2x) \cos(7x)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом г).

Ответ: г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$