Номер 3, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §21 - номер 3, страница 144.

Условие.

3. Тригонометрическую функцию от аргумента $nx$ выразите через три-

гонометрические функции аргумента $\frac{nx}{2}$.

а) $\sin 3x$;

б) $\cos 8x$;

в) $\operatorname{tg} 6,5x$;

г) $\sin \frac{x}{4}$;

д) $\cos \frac{5x}{7}$.

Решение 6.

а) Для того чтобы выразить $\sin{3x}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{3x}{2}$, мы используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

В нашем случае аргумент $nx$ равен $3x$. Следовательно, аргумент $\frac{nx}{2}$ равен $\frac{3x}{2}$.

Представим $3x$ как $2 \cdot \frac{3x}{2}$ и применим формулу, где $\alpha = \frac{3x}{2}$:

$\sin{3x} = \sin{\left(2 \cdot \frac{3x}{2}\right)} = 2\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{3x}{2}\right)}$

Ответ: $2\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{3x}{2}\right)}$

б) Чтобы выразить $\cos{8x}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{8x}{2} = 4x$, мы используем формулу косинуса двойного угла. У этой формулы есть несколько форм. Мы будем использовать основную: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Представим $8x$ как $2 \cdot 4x$. Пусть $\alpha = 4x$.

Подставим в формулу:

$\cos{8x} = \cos{(2 \cdot 4x)} = \cos^2{(4x)} - \sin^2{(4x)}$

Другие возможные формы ответа: $2\cos^2{(4x)} - 1$ или $1 - 2\sin^2{(4x)}$.

Ответ: $\cos^2{(4x)} - \sin^2{(4x)}$

в) Для выражения $\text{tg}{6,5x}$ через тригонометрическую функцию от аргумента $\frac{6,5x}{2} = 3,25x$, применяется формула тангенса двойного угла: $\text{tg}{2\alpha} = \frac{2\text{tg}{\alpha}}{1 - \text{tg}^2{\alpha}}$.

Представим аргумент $6,5x$ как $2 \cdot 3,25x$. Пусть $\alpha = 3,25x$.

Подставим в формулу:

$\text{tg}{6,5x} = \text{tg}{(2 \cdot 3,25x)} = \frac{2\text{tg}{(3,25x)}}{1 - \text{tg}^2{(3,25x)}}$

Ответ: $\frac{2\text{tg}{(3,25x)}}{1 - \text{tg}^2{(3,25x)}}$

г) Чтобы выразить $\sin{\frac{x}{4}}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{x/4}{2} = \frac{x}{8}$, мы снова используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Представим $\frac{x}{4}$ как $2 \cdot \frac{x}{8}$. Пусть $\alpha = \frac{x}{8}$.

Применяем формулу:

$\sin{\frac{x}{4}} = \sin{\left(2 \cdot \frac{x}{8}\right)} = 2\sin{\left(\frac{x}{8}\right)}\cos{\left(\frac{x}{8}\right)}$

Ответ: $2\sin{\left(\frac{x}{8}\right)}\cos{\left(\frac{x}{8}\right)}$

д) Для выражения $\cos{\frac{5x}{7}}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{5x/7}{2} = \frac{5x}{14}$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Представим $\frac{5x}{7}$ как $2 \cdot \frac{5x}{14}$. Пусть $\alpha = \frac{5x}{14}$.

Подставляем в формулу:

$\cos{\frac{5x}{7}} = \cos{\left(2 \cdot \frac{5x}{14}\right)} = \cos^2{\left(\frac{5x}{14}\right)} - \sin^2{\left(\frac{5x}{14}\right)}$

Ответ: $\cos^2{\left(\frac{5x}{14}\right)} - \sin^2{\left(\frac{5x}{14}\right)}$