Номер 2, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §22 - номер 2, страница 150.

Условие.

2. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрические тождества.

Дано тождество:

$$ f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2} $$

Мы можем упростить числитель этой дроби, применив формулу суммы синусов:

$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $$

В нашем случае, пусть $ \alpha = 9x $ и $ \beta = 5x $. Подставим эти значения в формулу:

$$ \sin 9x + \sin 5x = 2 \sin\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \cos\left(\frac{9x - 5x}{2}\right) $$

Выполним вычисления в аргументах синуса и косинуса:

$$ = 2 \sin\left(\frac{14x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x}{2}\right) $$$$ = 2 \sin(7x) \cos(2x) $$

Теперь подставим полученное выражение для суммы синусов обратно в исходное тождество для функции $f(x)$:

$$ f(x) = \frac{2 \sin(7x) \cos(2x)}{2} $$

Сократив двойки в числителе и знаменателе, получаем окончательный вид функции:

$$ f(x) = \sin(7x) \cos(2x) $$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов:

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$ — Неверно.

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$ — Неверно.

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$ — Верно. Это выражение в точности совпадает с результатом наших преобразований.

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$ — Неверно. Хотя произведение чисел коммутативно (т.е. $ab=ba$), в данном случае функции $y = \sin 7x \cos 2x$ и $y = \sin 2x \cos 7x$ не являются тождественно равными. Чтобы это доказать, можно преобразовать выражение из пункта г) в сумму, используя формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] $:

$$ \sin 2x \cos 7x = \frac{1}{2}[\sin(2x+7x) + \sin(2x-7x)] = \frac{1}{2}[\sin(9x) + \sin(-5x)] $$

Поскольку синус — нечётная функция ($ \sin(-A) = -\sin(A) $), мы получаем:

$$ \frac{1}{2}[\sin(9x) - \sin(5x)] $$

Это выражение не равно исходной функции $ f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2} $. Следовательно, утверждение г) неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — это в).

Ответ: в)