Номер 2, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §22. ч. 1 - номер 2, страница 150.
№2 (с. 150)
Условие. №2 (с. 150)
скриншот условия

2. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:
a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$
б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$
в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$
г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$
Решение 6. №2 (с. 150)
Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрические тождества.
Дано тождество:
$$ f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2} $$Мы можем упростить числитель этой дроби, применив формулу суммы синусов:
$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $$В нашем случае, пусть $ \alpha = 9x $ и $ \beta = 5x $. Подставим эти значения в формулу:
$$ \sin 9x + \sin 5x = 2 \sin\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \cos\left(\frac{9x - 5x}{2}\right) $$Выполним вычисления в аргументах синуса и косинуса:
$$ = 2 \sin\left(\frac{14x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x}{2}\right) $$$$ = 2 \sin(7x) \cos(2x) $$Теперь подставим полученное выражение для суммы синусов обратно в исходное тождество для функции $f(x)$:
$$ f(x) = \frac{2 \sin(7x) \cos(2x)}{2} $$Сократив двойки в числителе и знаменателе, получаем окончательный вид функции:
$$ f(x) = \sin(7x) \cos(2x) $$Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов:
а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$ — Неверно.
б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$ — Неверно.
в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$ — Верно. Это выражение в точности совпадает с результатом наших преобразований.
г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$ — Неверно. Хотя произведение чисел коммутативно (т.е. $ab=ba$), в данном случае функции $y = \sin 7x \cos 2x$ и $y = \sin 2x \cos 7x$ не являются тождественно равными. Чтобы это доказать, можно преобразовать выражение из пункта г) в сумму, используя формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] $:
$$ \sin 2x \cos 7x = \frac{1}{2}[\sin(2x+7x) + \sin(2x-7x)] = \frac{1}{2}[\sin(9x) + \sin(-5x)] $$Поскольку синус — нечётная функция ($ \sin(-A) = -\sin(A) $), мы получаем:
$$ \frac{1}{2}[\sin(9x) - \sin(5x)] $$Это выражение не равно исходной функции $ f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2} $. Следовательно, утверждение г) неверно.
Таким образом, единственное верное утверждение — это в).
Ответ: в)
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 150 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 150), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.