Номер 2, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §23. ч. 1 - номер 2, страница 152.

2. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x;$

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x?$

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$ с помощью формулы преобразования произведения синусов в разность косинусов. Формула выглядит следующим образом:

$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

В данном случае, пусть $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Применим формулу к нашей функции $f(x)$:

$f(x) = \cos(9x - 5x) - \cos(9x + 5x)$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$f(x) = \cos 4x - \cos 14x$

Теперь сравним полученное выражение с каждым из предложенных вариантов.

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Это утверждение неверно, так как наше выражение представляет собой разность косинусов, а не сумму синусов.

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$. Это утверждение неверно. Оно отличается от нашего результата знаком, поскольку $\cos 14x - \cos 4x = -(\cos 4x - \cos 14x)$.

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x$. Это утверждение неверно, так как аргументы функций ($7x$ и $2x$) не совпадают с полученными нами ($4x$ и $14x$).

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x$. Это утверждение верно, так как оно в точности совпадает с выражением, которое мы получили после преобразования.

Ответ: г)