Номер 5, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 4. ч. 1 - номер 5, страница 155.

5. Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции (аркфункции), как правило, сводится к их упрощению, то есть к представлению в виде алгебраического выражения от переменных, или к вычислению их точного числового значения. Основой для таких преобразований служат определения аркфункций и основные тригонометрические тождества.

Основные определения и свойства

Вспомним определения и ключевые свойства обратных тригонометрических функций:

• Арксинус ($y = \arcsin x$): это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Область определения: $x \in [-1, 1]$. Область значений: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

• Арккосинус ($y = \arccos x$): это угол $y$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$. Область определения: $x \in [-1, 1]$. Область значений: $y \in [0, \pi]$.

• Арктангенс ($y = \arctan x$): это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений: $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

• Арккотангенс ($y = \operatorname{arcctg} x$): это угол $y$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$. Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений: $y \in (0, \pi)$.

Основные тождества

При преобразованиях часто используются следующие тождества:

1. Тождества, связывающие прямые и обратные функции:

   • $\sin(\arcsin x) = x$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\cos(\arccos x) = x$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\tan(\arctan x) = x$ для любого $x$

   • $\arcsin(\sin y) = y$ только при $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (в общем случае $\arcsin(\sin y) = (-1)^k(y-k\pi)$, где $k = \lfloor \frac{y}{\pi} + \frac{1}{2} \rfloor$)

2. Соотношения между аркфункциями:

   • $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$

   • $\arctan x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$ для любого $x$

3. Свойства нечетности:

   • $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

   • $\arctan(-x) = -\arctan x$

   • $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

   • $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$

Рассмотрим несколько примеров преобразований.

Примеры преобразований

а) Упростить выражение $\cos(\arcsin x)$.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = x$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Нам необходимо найти $\cos \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Отсюда $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. Подставив $\sin \alpha = x$, получим: $\cos^2 \alpha = 1 - x^2$.

Тогда $\cos \alpha = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, учтем область значений арксинуса: $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале (I и IV четверти) косинус всегда неотрицателен, то есть $\cos \alpha \ge 0$.

Следовательно, мы выбираем знак «+».

Таким образом, $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$. Это выражение определено при $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $\sqrt{1-x^2}$.

б) Вычислить $\sin(2 \arctan 3)$.

Пусть $\alpha = \arctan 3$. По определению, это означает, что $\tan \alpha = 3$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам нужно найти значение выражения $\sin(2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Чтобы найти $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, зная $\tan \alpha$, воспользуемся тождеством $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$1 + 3^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow 10 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{10}$.

Поскольку $\tan \alpha = 3 > 0$, угол $\alpha$ лежит в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Значит, $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Теперь найдем синус: $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Подставляем найденные значения в формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) Упростить выражение $\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3}$.

Пусть $\alpha = \arctan \frac{1}{2}$ и $\beta = \arctan \frac{1}{3}$. Нам нужно найти сумму $\alpha + \beta$.

По определению, $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ и $\tan \beta = \frac{1}{3}$.

Так как аргументы арктангенсов положительны, углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, их сумма $\alpha + \beta$ находится в интервале $(0, \pi)$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.

Подставим наши значения:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.

Мы получили, что тангенс искомой суммы равен 1. Теперь нужно найти саму сумму. Мы знаем, что $\alpha + \beta \in (0, \pi)$. Единственный угол в этом интервале, тангенс которого равен 1, это $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.