Номер 4, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 4. ч. 1 - номер 4, страница 155.

4. Уравнение движения маятника и его характеристики: период, частота, амплитуда.

Маятником называют твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести или силы упругости. Рассмотрим наиболее простой случай — математический маятник, который представляет собой идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой $m$, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Движение такого маятника при малых отклонениях от положения равновесия является примером гармонических колебаний.

Уравнение движения маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол $\theta$, возвращающая сила, стремящаяся вернуть его в начальное положение, является тангенциальной (касательной) составляющей силы тяжести: $F_{возвр} = -mg \sin(\theta)$. Знак "минус" указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную отклонению. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает телу ускорение $a$: $F = ma$. Ускорение вдоль дуги траектории можно выразить через угловое ускорение: $a = l\frac{d^2\theta}{dt^2}$.

Приравняв оба выражения для силы, получаем дифференциальное уравнение движения маятника:

$ml\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg \sin(\theta)$

После сокращения массы и переноса слагаемых, уравнение принимает вид:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0$

Это уравнение достаточно сложно для решения. Однако, если рассматривать малые колебания, при которых угол отклонения $\theta$ мал (обычно до 5-10 градусов), то можно воспользоваться приближением $\sin(\theta) \approx \theta$ (где угол $\theta$ выражен в радианах). В этом случае уравнение становится линейным и описывает простое гармоническое колебание:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$

Это уравнение имеет стандартный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — это циклическая (угловая) частота. Сравнивая уравнения, находим, что для математического маятника $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$.

Решением этого дифференциального уравнения является закон движения маятника — функция, описывающая зависимость смещения от времени. Обычно ее записывают в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

или для углового смещения:

$\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi)$

Здесь $x(t)$ или $\theta(t)$ — смещение от положения равновесия в момент времени $t$; $A$ или $\theta_{max}$ — амплитуда колебаний (максимальное смещение); $\omega$ — циклическая частота; $\phi$ — начальная фаза колебаний (определяет состояние системы в момент $t=0$); выражение $(\omega t + \phi)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$.

Ответ: Уравнение движения маятника (для малых колебаний) имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi$ — начальная фаза. Это решение дифференциального уравнения $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где для математического маятника циклическая частота $\omega = \sqrt{g/l}$.

период

Период колебаний ($T$) — это время, за которое маятник совершает одно полное колебание (например, от крайнего правого положения до крайнего левого и обратно). Это минимальный промежуток времени, через который состояние колеблющейся системы полностью повторяется. Период связан с циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Для математического маятника, совершающего малые колебания, мы уже определили, что $\omega = \sqrt{g/l}$. Подставив это значение, получим формулу для периода колебаний математического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Из этой формулы видно, что при малых колебаниях период математического маятника зависит только от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$. Он не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний. Это свойство называется изохронностью колебаний. Единица измерения периода в СИ — секунда (с).

Ответ: Период ($T$) — это время одного полного колебания. Для малых колебаний математического маятника он вычисляется по формуле $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ и не зависит от амплитуды и массы.

частота

Частота колебаний ($\nu$, иногда обозначается как $f$) — это физическая величина, равная числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является обратной величиной по отношению к периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Единица измерения частоты в СИ — герц (Гц), 1 Гц = 1 с$^{-1}$.

Для математического маятника, используя формулу для периода, можно найти и частоту колебаний:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Наряду с обычной частотой $\nu$ используется циклическая (угловая) частота $\omega$, которая показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за одну секунду. Связь между ними: $\omega = 2\pi\nu$. Как было показано ранее, для математического маятника $\omega = \sqrt{g/l}$.

Ответ: Частота ($\nu$) — это число полных колебаний в единицу времени. Она определяется как $\nu = 1/T$ и для математического маятника равна $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{g/l}$.

амплитуда

Амплитуда ($A$) — это максимальное значение, на которое колеблющаяся величина отклоняется от своего среднего значения (положения равновесия). В случае маятника амплитуда — это максимальное смещение груза от вертикального положения. Она может быть выражена в единицах длины (например, метры для горизонтального смещения $x_{max}$) или в угловых единицах (радианы для максимального угла отклонения $\theta_{max}$). В уравнении гармонических колебаний $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, амплитуда $A$ — это постоянный положительный множитель. Ее значение определяется начальными условиями: начальным отклонением и начальной скоростью маятника. Для идеального маятника без трения (незатухающие колебания) амплитуда остается постоянной во времени.

Ответ: Амплитуда ($A$) — это максимальное отклонение маятника от положения равновесия. Ее значение зависит от начальных условий (начального толчка или отклонения) и остается постоянным при отсутствии затухания.