Номер 3, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §23 - номер 3, страница 152.

Условие.

3. Дано тождество $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x + \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin x?$

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений верно, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$, используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Нужная нам формула — это формула произведения косинусов:

$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x = \cos(9x + 5x) + \cos(9x - 5x)$

Теперь выполним сложение и вычитание аргументов в скобках:

$f(x) = \cos(14x) + \cos(4x)$

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом б).

б) Утверждение $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$ является верным, так как оно в точности соответствует выражению, полученному после преобразования исходного тождества.

Ответ: б)