Номер 1, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §22. ч. 1 - номер 1, страница 150.

1. Представьте в виде произведения тригонометрических функций:

а) $ \sin \alpha + \sin \beta $;

б) $ \sin u - \sin v $;

в) $ \cos z + \cos t $;

г) $ \cos \delta - \cos \gamma $.

а) Чтобы представить сумму синусов в виде произведения, используется соответствующая тригонометрическая формула преобразования суммы в произведение:

$ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

Подставляя $ \alpha $ и $ \beta $ вместо $ x $ и $ y $, получаем:

$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $

б) Для преобразования разности синусов в произведение применяется формула:

$ \sin x - \sin y = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) $

Подставляя $ u $ и $ v $ вместо $ x $ и $ y $, получаем:

$ \sin u - \sin v = 2 \sin\left(\frac{u-v}{2}\right) \cos\left(\frac{u+v}{2}\right) $

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{u-v}{2}\right) \cos\left(\frac{u+v}{2}\right) $

в) Сумма косинусов преобразуется в произведение по следующей формуле:

$ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

Применим ее для выражения $ \cos z + \cos t $, где $ x=z $ и $ y=t $:

$ \cos z + \cos t = 2 \cos\left(\frac{z+t}{2}\right) \cos\left(\frac{z-t}{2}\right) $

Ответ: $ 2 \cos\left(\frac{z+t}{2}\right) \cos\left(\frac{z-t}{2}\right) $

г) Разность косинусов преобразуется в произведение с помощью формулы:

$ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $

Применим ее для выражения $ \cos \delta - \cos \gamma $, где $ x=\delta $ и $ y=\gamma $:

$ \cos \delta - \cos \gamma = -2 \sin\left(\frac{\delta+\gamma}{2}\right) \sin\left(\frac{\delta-\gamma}{2}\right) $

Используя свойство нечетности синуса ($ \sin(-A) = -\sin(A) $), можно поменять знак в последнем множителе, убрав минус перед выражением: $ - \sin\left(\frac{\delta-\gamma}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\delta-\gamma}{2}\right) = \sin\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right) $. Тогда формула примет вид: $ 2 \sin\left(\frac{\delta+\gamma}{2}\right) \sin\left(\frac{\gamma-\delta}{2}\right) $. Оба варианта являются правильными.

Ответ: $ -2 \sin\left(\frac{\delta+\gamma}{2}\right) \sin\left(\frac{\delta-\gamma}{2}\right) $