Номер 2, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §20 - номер 2, страница 136.

Условие.

2. Выразите через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ выражение $tg(u - v)$.

Решение 6.

Чтобы выразить $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции от переменных $u$ и $v$, мы используем определение тангенса и формулы для синуса и косинуса разности двух углов.

По определению, тангенс угла есть отношение его синуса к косинусу:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u - v)}{\cos(u - v)}$

Воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:
$\sin(u - v) = \sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$
$\cos(u - v) = \cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)$

Подставим эти выражения в нашу формулу для тангенса:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}$

Для того чтобы перейти от синусов и косинусов к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\cos(u)\cos(v)$, предполагая, что $\cos(u) \neq 0$ и $\cos(v) \neq 0$:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} - \frac{\cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} + \frac{\sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

После сокращения одинаковых множителей в каждой дроби получаем:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)}{\cos(u)} - \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}{1 + \frac{\sin(u)}{\cos(u)} \cdot \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}$

Так как $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tg(x)$, мы можем заменить эти отношения на соответствующие тангенсы:
$\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$

Это и есть искомое выражение $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции (в данном случае, тангенсы) от переменных $u$ и $v$.

Ответ: $\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$