Номер 1, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §20 - номер 1, страница 136.

Условие.

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $tg(s + t)$.

Решение 6.

1. Для того чтобы выразить $\text{tg}(s+t)$ через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$, мы воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Сначала запишем определение тангенса для суммы углов $s$ и $t$:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s+t)}{\cos(s+t)}$

Далее, используем формулы для синуса и косинуса суммы двух углов:

$\sin(s+t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)$

$\cos(s+t) = \cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)$

Подставим эти два выражения в исходную формулу для тангенса суммы:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)}$

Теперь, чтобы получить выражение, зависящее только от тангенсов $s$ и $t$, разделим и числитель, и знаменатель дроби на произведение $\cos(s)\cos(t)$. Это преобразование справедливо, если $\cos(s) \neq 0$ и $\cos(t) \neq 0$.

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}{\frac{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}$

Разделим каждый член в числителе и знаменателе на $\cos(s)\cos(t)$:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)\cos(t)}{\cos(s)\cos(t)} + \frac{\cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}{\frac{\cos(s)\cos(t)}{\cos(s)\cos(t)} - \frac{\sin(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}$

После сокращения одинаковых множителей получаем:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)}{\cos(s)} + \frac{\sin(t)}{\cos(t)}}{1 - \frac{\sin(s)}{\cos(s)} \cdot \frac{\sin(t)}{\cos(t)}}$

Поскольку $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \text{tg}(x)$, мы можем заменить эти отношения соответствующими тангенсами:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg}(s) + \text{tg}(t)}{1 - \text{tg}(s)\text{tg}(t)}$

Это и есть искомое выражение.

Ответ: $\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg}(s) + \text{tg}(t)}{1 - \text{tg}(s)\text{tg}(t)}$