Номер 6, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §19 - номер 6, страница 133.

Условие.

6. Дано тождество $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x = f(x) $. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 3x$;

б) $f(x) = \cos 3x$;

в) $f(x) = \sin 7x$;

г) $f(x) = \cos 7x$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо упростить левую часть данного тождества: $cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x = f(x)$.

Выражение в левой части тождества представляет собой правую часть известной тригонометрической формулы косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.

В нашем случае можно принять $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$. Применив формулу, получим: $f(x) = cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x = cos(2x + 5x)$.

Теперь выполним сложение в аргументе косинуса: $f(x) = cos(7x)$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы можем заключить, что верным является утверждение г).

г) $f(x) = cos 7x$

Ответ: г)