Номер 2, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §21. ч. 1 - номер 2, страница 144.

2. Укажите область допустимых значений переменной в формуле

$\text{tg } 2x = \frac{2 \text{ tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной в формуле определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. В данной формуле $ \tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x} $ мы должны учесть три условия:

1. Должен существовать тангенс в левой части уравнения, то есть $ \tg 2x $.
Функция тангенса $ \tg \alpha $ определена, когда ее аргумент $ \alpha $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
В нашем случае аргумент равен $ 2x $, следовательно:
$ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $
Разделим обе части на 2:
$ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

2. Должен существовать тангенс в правой части уравнения, то есть $ \tg x $.
Аналогично, функция $ \tg x $ определена, когда ее аргумент $ x $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю.
$ 1 - \tg^2 x \neq 0 $
$ \tg^2 x \neq 1 $
Это означает, что $ \tg x \neq 1 $ и $ \tg x \neq -1 $.
Решим уравнения $ \tg x = 1 $ и $ \tg x = -1 $:
$ \tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
$ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
Эти две серии решений можно объединить в одну: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.

Теперь объединим все найденные ограничения:
Из пункта 1: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $
Из пункта 2: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Из пункта 3: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $
Ограничения из пунктов 1 и 3 совпадают. Таким образом, для того чтобы формула была верна, необходимо и достаточно выполнения двух условий.

Ответ: Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $ и $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.