Номер 1, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §21. ч. 1 - номер 1, страница 144.
№1 (с. 144)
Условие. №1 (с. 144)
скриншот условия

1. Запишите формулу двойного аргумента:
а) для синуса;
б) для косинуса;
в) для тангенса.
Решение 6. №1 (с. 144)
Формулы двойного аргумента (или двойного угла) выражают тригонометрические функции угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они выводятся из формул сложения углов, в которых полагают, что оба угла равны.
а) для синуса
Формула двойного аргумента для синуса выводится из формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$. Если мы положим $\beta = \alpha$, то получим:
$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
Таким образом, синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса одинарного угла.
Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
б) для косинуса
Формула двойного аргумента для косинуса выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$. Положив $\beta = \alpha$, получаем основную формулу:
$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$
Эту формулу можно преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
1. Выразим $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:
$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$
2. Выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Таким образом, для косинуса двойного угла существуют три равносильные формы записи.
Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
в) для тангенса
Формула двойного аргумента для тангенса выводится из формулы тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$. Если положить $\beta = \alpha$, то получим:
$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$
Эту формулу также можно получить, разделив формулу двойного угла для синуса на формулу двойного угла для косинуса: $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}$. Разделив числитель и знаменатель на $\cos^2(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$), мы придем к тому же результату.
Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 144 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 144), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.