Номер 1, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §21 - номер 1, страница 144.

Условие.

1. Запишите формулу двойного аргумента:

а) для синуса;

б) для косинуса;

в) для тангенса.

Решение 6.

Формулы двойного аргумента (или двойного угла) выражают тригонометрические функции угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они выводятся из формул сложения углов, в которых полагают, что оба угла равны.

а) для синуса

Формула двойного аргумента для синуса выводится из формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$. Если мы положим $\beta = \alpha$, то получим:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Таким образом, синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса одинарного угла.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) для косинуса

Формула двойного аргумента для косинуса выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$. Положив $\beta = \alpha$, получаем основную формулу:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

Эту формулу можно преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

1. Выразим $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$

2. Выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

Таким образом, для косинуса двойного угла существуют три равносильные формы записи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

в) для тангенса

Формула двойного аргумента для тангенса выводится из формулы тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$. Если положить $\beta = \alpha$, то получим:

$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Эту формулу также можно получить, разделив формулу двойного угла для синуса на формулу двойного угла для косинуса: $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}$. Разделив числитель и знаменатель на $\cos^2(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$), мы придем к тому же результату.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$