Номер 4, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §21. ч. 1 - номер 4, страница 144.
№4 (с. 144)
Условие. №4 (с. 144)
скриншот условия

4. Какие формулы называют формулами понижения степени? Запишите их.
Решение 6. №4 (с. 144)
Формулами понижения степени в тригонометрии называют формулы, которые позволяют выразить степени тригонометрических функций (например, $sin^2\alpha$, $cos^3\alpha$) через тригонометрические функции первой степени, но с кратным аргументом (например, $cos(2\alpha)$, $sin(3\alpha)$). Эти формулы очень полезны при решении интегралов и упрощении тригонометрических выражений.
Основными формулами понижения степени являются формулы для квадратов синуса, косинуса и тангенса. Они выводятся из формулы косинуса двойного угла:
$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$
Вывод формулы для $sin^2\alpha$:
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$ и подставим его в формулу косинуса двойного угла:
$cos(2\alpha) = (1 - sin^2\alpha) - sin^2\alpha$
$cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2\alpha$
Отсюда выразим $sin^2\alpha$:
$2sin^2\alpha = 1 - cos(2\alpha)$
$sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$
Вывод формулы для $cos^2\alpha$:
Теперь используем тождество $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$ и снова подставим его в формулу косинуса двойного угла:
$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha)$
$cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$
Отсюда выразим $cos^2\alpha$:
$2cos^2\alpha = 1 + cos(2\alpha)$
$cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$
Вывод формулы для $tg^2\alpha$:
Формулу для квадрата тангенса можно получить, разделив формулу для $sin^2\alpha$ на формулу для $cos^2\alpha$:
$tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{\frac{1 - cos(2\alpha)}{2}}{\frac{1 + cos(2\alpha)}{2}}$
$tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$
Существуют также формулы для более высоких степеней, например, для кубов, которые выводятся из формул тройного угла.
Формула для $sin^3\alpha$:
Из формулы $sin(3\alpha) = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$ получаем:
$sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$
Формула для $cos^3\alpha$:
Из формулы $cos(3\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$ получаем:
$cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$
Ответ:
Формулы понижения степени — это тождества, позволяющие представить степени тригонометрических функций через функции в первой степени. Основные формулы:
Для квадрата синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$
Для квадрата косинуса: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$
Для квадрата тангенса: $tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$
Для куба синуса: $sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$
Для куба косинуса: $cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 144 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 144), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.