Номер 4, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §21 - номер 4, страница 144.

Условие.

4. Какие формулы называют формулами понижения степени? Запишите их.

Решение 6.

Формулами понижения степени в тригонометрии называют формулы, которые позволяют выразить степени тригонометрических функций (например, $sin^2\alpha$, $cos^3\alpha$) через тригонометрические функции первой степени, но с кратным аргументом (например, $cos(2\alpha)$, $sin(3\alpha)$). Эти формулы очень полезны при решении интегралов и упрощении тригонометрических выражений.

Основными формулами понижения степени являются формулы для квадратов синуса, косинуса и тангенса. Они выводятся из формулы косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Вывод формулы для $sin^2\alpha$:

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$ и подставим его в формулу косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = (1 - sin^2\alpha) - sin^2\alpha$

$cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2\alpha$

Отсюда выразим $sin^2\alpha$:

$2sin^2\alpha = 1 - cos(2\alpha)$

$sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

Вывод формулы для $cos^2\alpha$:

Теперь используем тождество $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$ и снова подставим его в формулу косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha)$

$cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$

Отсюда выразим $cos^2\alpha$:

$2cos^2\alpha = 1 + cos(2\alpha)$

$cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Вывод формулы для $tg^2\alpha$:

Формулу для квадрата тангенса можно получить, разделив формулу для $sin^2\alpha$ на формулу для $cos^2\alpha$:

$tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{\frac{1 - cos(2\alpha)}{2}}{\frac{1 + cos(2\alpha)}{2}}$

$tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$

Существуют также формулы для более высоких степеней, например, для кубов, которые выводятся из формул тройного угла.

Формула для $sin^3\alpha$:

Из формулы $sin(3\alpha) = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$ получаем:

$sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$

Формула для $cos^3\alpha$:

Из формулы $cos(3\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$ получаем:

$cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$

Ответ:

Формулы понижения степени — это тождества, позволяющие представить степени тригонометрических функций через функции в первой степени. Основные формулы:

Для квадрата синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

Для квадрата косинуса: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Для квадрата тангенса: $tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$

Для куба синуса: $sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$

Для куба косинуса: $cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$