Номер 5, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §22 - номер 5, страница 150.

Условие.

5. Дано тождество $f(x) = \frac{\cos 9x - \cos 5x}{2}$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из приведённых утверждений верно, необходимо преобразовать данное тождество $f(x) = \frac{\cos 9x - \cos 5x}{2}$ с помощью тригонометрических формул и сравнить результат с предложенными вариантами.

Воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение (формула перехода от суммы к произведению):

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $

В нашем случае $ \alpha = 9x $ и $ \beta = 5x $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos 9x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \sin\left(\frac{9x - 5x}{2}\right) $

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$ \cos 9x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{14x}{2}\right) \sin\left(\frac{4x}{2}\right) $

$ \cos 9x - \cos 5x = -2 \sin(7x) \sin(2x) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную функцию $ f(x) $:

$ f(x) = \frac{-2 \sin(7x) \sin(2x)}{2} = -\sin(7x) \sin(2x) $

Теперь сравним полученный нами результат $ -\sin(7x) \sin(2x) $ с предложенными вариантами:

• а) f(x) = sin 7x sin 2x;
• б) f(x) = cos 7x cos 2x;
• в) f(x) = sin 7x cos 2x;
• г) f(x) = sin 2x cos 7x?

Мы видим, что наш результат $ -\sin(7x) \sin(2x) $ не совпадает ни с одним из вариантов в точности. Однако вариант а) отличается от нашего результата только знаком. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи. Скорее всего, в числителе исходной функции должно было стоять $ \cos 5x - \cos 9x $.

Проверим это предположение. Если бы функция была $f(x) = \frac{\cos 5x - \cos 9x}{2}$, то:

$ f(x) = \frac{-(\cos 9x - \cos 5x)}{2} = -(-\sin(7x) \sin(2x)) = \sin(7x) \sin(2x) $

В этом случае утверждение а) было бы верным. Учитывая, что это задание с выбором ответа, и один из ответов должен быть верным, мы делаем вывод, что в условии допущена опечатка, и правильным ответом является вариант а).

Ответ: а) f(x) = sin 7x sin 2x;