Номер 1, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 4 - номер 1, страница 155.

Условие.

1. Тригонометрия вокруг нас: применения тригонометрии в астрономии, географии, геодезии, медицине, биологии и т. д.

Решение 6.

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. Благодаря своей способности описывать колебательные процессы и выполнять точные пространственные расчеты, она находит широчайшее применение в самых разных областях науки и техники.

Астрономия

В астрономии тригонометрия является фундаментальным инструментом. Основное ее применение — измерение расстояний до небесных тел. Метод тригонометрического параллакса позволяет определять расстояние до ближайших звезд. Астрономы измеряют угол $p$ (параллакс), на который смещается звезда на фоне далеких объектов при наблюдении из двух противоположных точек орбиты Земли. Зная этот угол и радиус земной орбиты $a$ (базис), можно вычислить расстояние до звезды $d$ как катет в прямоугольном треугольнике: $d = \frac{a}{\tan p}$. Для малых углов формула упрощается до $d \approx \frac{a}{p}$ (где угол $p$ выражен в радианах). Также тригонометрия используется для вычисления размеров планет и их спутников, высоты гор на Луне (по длине тени и углу падения солнечных лучей) и для точного описания орбит небесных тел.

Ответ: В астрономии тригонометрия используется для измерения расстояний до небесных тел (метод параллакса), определения их размеров и моделирования орбит, основываясь на измерении углов и решении треугольников.

География

В географии и картографии тригонометрия незаменима для создания точных карт и определения местоположения объектов. С ее помощью вычисляют высоты гор, глубины озер и океанов, ширину рек. Например, для определения высоты горы $h$ можно из точки $A$ измерить угол возвышения ее вершины $\alpha$, затем отойти на известное расстояние $s$ до точки $B$ и измерить новый угол $\beta$. Решая систему уравнений с использованием тангенсов, можно найти высоту. Для навигации и расчетов больших расстояний на поверхности Земли, которая имеет форму сферы, применяется сферическая тригонометрия, оперирующая с треугольниками на поверхности сферы. Это позволяет морским судам и самолетам прокладывать наиболее точные и короткие маршруты (ортодромии).

Ответ: В географии тригонометрия применяется для картографии, определения высот и глубин, а также для навигации и расчета расстояний на сферической поверхности Земли.

Геодезия

Геодезия, наука об измерениях на земной поверхности, целиком и полностью построена на тригонометрии. Ключевой метод — триангуляция. Он заключается в построении на местности сети из смежных треугольников. С высокой точностью измеряется длина одной стороны в сети (базис), а затем — все углы во всех треугольниках. Используя теорему синусов, $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $, геодезисты последовательно вычисляют длины всех остальных сторон в сети треугольников. Это позволяет создать точный координатный каркас для составления топографических карт и планов, а также для строительства крупных инженерных сооружений. Принципы тригонометрии лежат и в основе работы глобальных систем позиционирования (GPS, ГЛОНАСС).

Ответ: В геодезии тригонометрия является основой метода триангуляции, который позволяет создавать точные карты и определять координаты точек на земной поверхности путем построения и расчета сетей треугольников.

Медицина

Тригонометрические функции идеально подходят для описания периодических процессов, происходящих в человеческом организме. Например, электрокардиограмма (ЭКГ), отражающая ритм сердечных сокращений, или электроэнцефалограмма (ЭЭГ), показывающая волновую активность мозга, представляют собой сложные колебательные сигналы. С помощью математического аппарата (ряды Фурье), который разлагает любую периодическую функцию в сумму синусов и косинусов, врачи анализируют эти сигналы, выявляя патологии. Тригонометрия также играет ключевую роль в медицинской визуализации. В компьютерной томографии (КТ) и магнитно-резонансной томографии (МРТ) итоговое изображение реконструируется из множества одномерных проекций, полученных при сканировании объекта под разными углами. Алгоритмы восстановления изображений используют тригонометрические преобразования для синтеза целостной картины.

Ответ: В медицине тригонометрия используется для анализа периодических биосигналов (ЭКГ, ЭЭГ) и для реконструкции изображений в томографии (КТ, МРТ) на основе данных, собранных под разными углами.

Биология

В биологии тригонометрия применяется для моделирования циклических процессов и анализа структур. С помощью синусоидальных функций описывают сезонные колебания численности популяций (например, в модели "хищник-жертва"), суточные (циркадные) ритмы активности организмов, а также процессы деления клеток. В биомеханике тригонометрия позволяет рассчитать углы в суставах при движении, силы и нагрузки на костно-мышечный аппарат животных и человека. На молекулярном уровне тригонометрия используется для описания пространственной структуры биомолекул. Например, знаменитая двойная спираль ДНК характеризуется тригонометрическими параметрами: шагом витка, радиусом спирали и углом поворота, что имеет решающее значение для понимания механизмов хранения и передачи генетической информации.

Ответ: В биологии тригонометрия применяется для моделирования циклических явлений (динамика популяций, биоритмы), анализа движений в биомеханике и описания пространственной структуры макромолекул, таких как ДНК.