Номер 3, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Темы исследовательских работ к главе 4. ч. 1 - номер 3, страница 155.
№3 (с. 155)
Условие. №3 (с. 155)
скриншот условия

3. Площадь треугольника и формулы синуса и косинуса суммы (разности).
Решение 6. №3 (с. 155)
Площадь треугольника
Площадь треугольника — это численная характеристика, показывающая размер части плоскости, ограниченной сторонами треугольника. Существует несколько основных формул для вычисления площади в зависимости от известных элементов треугольника.
1. Через основание и высоту
Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты, проведенной к этому основанию. Это самая базовая формула.
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
где $a$ — сторона треугольника (основание), а $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$.
2. Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Эта формула особенно полезна в тригонометрии.
$S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$
где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами. Эта формула напрямую следует из предыдущей, если учесть, что высота $h_b$, опущенная на сторону $b$, может быть выражена через сторону $a$ и угол $\gamma$ как $h_b = a \sin \gamma$.
3. Формула Герона (через три стороны)
Если известны длины всех трех сторон треугольника $a, b, c$, то его площадь можно найти по формуле Герона, которая не требует нахождения углов или высот.
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
где $p$ — полупериметр треугольника, то есть $p = \frac{a+b+c}{2}$.
4. Через радиус вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.
$S = p \cdot r$
где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.
5. Через радиус описанной окружности
Площадь треугольника можно вычислить через произведение длин его сторон и радиус описанной около него окружности.
$S = \frac{abc}{4R}$
где $a, b, c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности.
Ответ: Основные формулы для вычисления площади треугольника:
- Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a$
- Через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$
- Формула Герона (через три стороны): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$
- Через радиус вписанной окружности: $S = pr$
- Через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$
Формулы синуса и косинуса суммы (разности)
Формулы сложения углов являются фундаментальными тригонометрическими тождествами. Они выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции самих этих углов.
Вывод формулы косинуса разности
Вывод этих формул удобно начать с косинуса разности, используя метод координат. Рассмотрим на единичной окружности точки $P_1$ и $P_2$, соответствующие углам $\alpha$ и $\beta$. Их координаты: $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $P_2(\cos\beta, \sin\beta)$. Квадрат расстояния между $P_1$ и $P_2$ равен:
$d^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$
$d^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:
$d^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$
С другой стороны, по теореме косинусов для треугольника $OP_1P_2$ (где $O$ — начало координат, $OP_1 = OP_2 = 1$ — радиусы, а угол между ними равен $\alpha - \beta$):
$d^2 = OP_1^2 + OP_2^2 - 2 \cdot OP_1 \cdot OP_2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$
Приравнивая два полученных выражения для $d^2$, имеем: $2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$. Отсюда получаем формулу косинуса разности:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$
Остальные формулы
Остальные формулы легко выводятся из первой.
Косинус суммы: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле косинуса разности: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - (-\beta)) = \cos\alpha \cos(-\beta) + \sin\alpha \sin(-\beta)$. Учитывая, что $\cos(-x)=\cos x$ (четная функция) и $\sin(-x)=-\sin x$ (нечетная функция), получаем:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Синус суммы: Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$: $\sin(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \cos((\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta)$. Теперь применяем формулу косинуса разности: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta$. И снова по формулам приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Синус разности: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле синуса суммы: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (-\beta)) = \sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta)$. С учетом четности и нечетности функций:
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
Ответ: Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов:
1. Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
2. Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
3. Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
4. Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 155 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 155), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.