Номер 3, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 4 - номер 3, страница 155.

Условие.

3. Площадь треугольника и формулы синуса и косинуса суммы (разности).

Решение 6.

Площадь треугольника

Площадь треугольника — это численная характеристика, показывающая размер части плоскости, ограниченной сторонами треугольника. Существует несколько основных формул для вычисления площади в зависимости от известных элементов треугольника.

1. Через основание и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты, проведенной к этому основанию. Это самая базовая формула.

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

где $a$ — сторона треугольника (основание), а $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$.

2. Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Эта формула особенно полезна в тригонометрии.

$S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$

где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами. Эта формула напрямую следует из предыдущей, если учесть, что высота $h_b$, опущенная на сторону $b$, может быть выражена через сторону $a$ и угол $\gamma$ как $h_b = a \sin \gamma$.

3. Формула Герона (через три стороны)

Если известны длины всех трех сторон треугольника $a, b, c$, то его площадь можно найти по формуле Герона, которая не требует нахождения углов или высот.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника, то есть $p = \frac{a+b+c}{2}$.

4. Через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

$S = p \cdot r$

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

5. Через радиус описанной окружности

Площадь треугольника можно вычислить через произведение длин его сторон и радиус описанной около него окружности.

$S = \frac{abc}{4R}$

где $a, b, c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности.

Ответ: Основные формулы для вычисления площади треугольника:
- Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a$
- Через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$
- Формула Герона (через три стороны): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$
- Через радиус вписанной окружности: $S = pr$
- Через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$

Формулы синуса и косинуса суммы (разности)

Формулы сложения углов являются фундаментальными тригонометрическими тождествами. Они выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции самих этих углов.

Вывод формулы косинуса разности

Вывод этих формул удобно начать с косинуса разности, используя метод координат. Рассмотрим на единичной окружности точки $P_1$ и $P_2$, соответствующие углам $\alpha$ и $\beta$. Их координаты: $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $P_2(\cos\beta, \sin\beta)$. Квадрат расстояния между $P_1$ и $P_2$ равен:

$d^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2$

$d^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$d^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

С другой стороны, по теореме косинусов для треугольника $OP_1P_2$ (где $O$ — начало координат, $OP_1 = OP_2 = 1$ — радиусы, а угол между ними равен $\alpha - \beta$):

$d^2 = OP_1^2 + OP_2^2 - 2 \cdot OP_1 \cdot OP_2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$

Приравнивая два полученных выражения для $d^2$, имеем: $2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$. Отсюда получаем формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Остальные формулы

Остальные формулы легко выводятся из первой.

Косинус суммы: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле косинуса разности: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - (-\beta)) = \cos\alpha \cos(-\beta) + \sin\alpha \sin(-\beta)$. Учитывая, что $\cos(-x)=\cos x$ (четная функция) и $\sin(-x)=-\sin x$ (нечетная функция), получаем:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Синус суммы: Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$: $\sin(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)) = \cos((\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta)$. Теперь применяем формулу косинуса разности: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta$. И снова по формулам приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Синус разности: Заменим $\beta$ на $-\beta$ в формуле синуса суммы: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (-\beta)) = \sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta)$. С учетом четности и нечетности функций:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Ответ: Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов:
1. Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
2. Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
3. Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
4. Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$