Номер 3, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 3, страница 163.

Условие.

3. Приведите пример числовой последовательности, которая:

a) ограничена снизу;

б) ограничена сверху;

в) ограничена;

г) не ограничена ни снизу, ни сверху.

Решение 6.

а) ограничена снизу
Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$. При этом последовательность не обязана быть ограниченной сверху.
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.
Ее члены: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
Все члены этой последовательности больше или равны 1. Например, можно взять $m=1$ (или любое число меньше 1, например, $m=0$). Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \ge 1$.
При этом последовательность не ограничена сверху, так как для любого числа $M$ найдется такой член последовательности $a_n = n$, что $n > M$.
Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) ограничена сверху
Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_n \le M$. При этом последовательность не обязана быть ограниченной снизу.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = -n$.
Ее члены: $-1, -2, -3, -4, -5, \dots$
Все члены этой последовательности меньше или равны -1. Например, можно взять $M=-1$ (или любое число больше -1, например, $M=0$). Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \le -1$.
При этом последовательность не ограничена снизу, так как для любого числа $m$ найдется такой член последовательности $a_n = -n$, что $-n < m$.
Ответ: последовательность $a_n = -n$.

в) ограничена
Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. То есть существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого натурального $n$ выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.
Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$
С одной стороны, все члены последовательности положительны, то есть $a_n > 0$. Значит, последовательность ограничена снизу (например, числом $m=0$).
С другой стороны, самый большой член последовательности — это первый, $a_1=1$. Все остальные члены меньше 1. Значит, $a_n \le 1$. Таким образом, последовательность ограничена сверху (числом $M=1$).
Для всех членов последовательности выполняется неравенство $0 < a_n \le 1$.
Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) не ограничена ни снизу, ни сверху
Такая последовательность не имеет ни нижней, ни верхней границы. Это означает, что для любого числа $M$ найдется член последовательности $a_k > M$, и для любого числа $m$ найдется член последовательности $a_j < m$.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.
Ее члены: $-1, 2, -3, 4, -5, 6, \dots$
Члены с четными номерами ($n=2k$) образуют подпоследовательность $a_{2k} = 2k$: $2, 4, 6, \dots$, которая стремится к $+\infty$. Это значит, что последовательность не ограничена сверху.
Члены с нечетными номерами ($n=2k-1$) образуют подпоследовательность $a_{2k-1} = -(2k-1)$: $-1, -3, -5, \dots$, которая стремится к $-\infty$. Это значит, что последовательность не ограничена снизу.
Следовательно, вся последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ: последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$.