Номер 9, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 9, страница 163.

Условие.

9. Чему равен предел последовательности:

а) $y_n = \frac{1}{n}$

б) $y_n = \frac{k}{n}$

в) $y_n = 3?$

Решение 6.

а)

Чтобы найти предел последовательности $y_n = \frac{1}{n}$, мы должны определить, к какому значению стремятся члены этой последовательности, когда их номер $n$ неограниченно возрастает ($n \to \infty$).

Когда знаменатель $n$ в дроби $\frac{1}{n}$ становится очень большим, значение самой дроби становится очень маленьким и приближается к нулю. Например, если $n=100$, то $y_{100}=0.01$; если $n=10000$, то $y_{10000}=0.0001$.

Формально, предел данной последовательности записывается следующим образом: $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Ответ: 0

б)

Рассмотрим последовательность $y_n = \frac{k}{n}$, где $k$ — это некоторое постоянное число (константа).

Для нахождения предела мы можем воспользоваться свойством пределов, которое позволяет выносить постоянный множитель за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{k}{n} = k \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} $$

Из предыдущего пункта а) нам известно, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Подставим это значение в наше выражение: $$ k \cdot 0 = 0 $$ Таким образом, предел последовательности $y_n = \frac{k}{n}$ равен нулю при любом постоянном $k$.

Ответ: 0

в)

Последовательность $y_n = 3$ является постоянной (стационарной), поскольку каждый её член, независимо от номера $n$, равен одному и тому же числу 3.

Предел постоянной последовательности всегда равен значению этой постоянной. Так как все члены последовательности уже равны 3, то и стремятся они к 3. $$ \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 = 3 $$

Ответ: 3