Номер 13, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §24. ч. 1 - номер 13, страница 163.
№13 (с. 163)
Условие. №13 (с. 163)
скриншот условия

13. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.
Решение 6. №13 (с. 163)
Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно.
Это утверждение является следствием одной из фундаментальных теорем математического анализа, которая гласит: любая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Приведем доказательство этого факта.
Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится, и её предел равен числу $A$. Математически это записывается так:
$\lim_{n \to \infty} x_n = A$
По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ найдется такой номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - A| < \epsilon$
Выберем конкретное значение $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда для этого значения существует номер $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется:
$|x_n - A| < 1$
Используя свойство модуля (неравенство треугольника), мы можем оценить $|x_n|$:
$|x_n| = |(x_n - A) + A| \le |x_n - A| + |A|$
Поскольку для $n > N$ мы знаем, что $|x_n - A| < 1$, то для этих же $n$ справедливо неравенство:
$|x_n| < 1 + |A|$
Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |A|$.
Теперь рассмотрим оставшиеся члены последовательности, которых конечное число: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, и оно, очевидно, является ограниченным. Возьмем в качестве ограничивающего числа для них величину $M_1$, равную максимальному из их модулей:
$M_1 = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|\}$
Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Для этого выберем максимальное из двух найденных ограничивающих значений:
$M = \max\{M_1, 1 + |A|\} = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |A|\}$
Таким образом, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.
Поскольку мы доказали, что любая сходящаяся последовательность обязательно является ограниченной, то не существует последовательности, которая бы удовлетворяла условию задачи.
Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.