Номер 13, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 13, страница 163.

Условие.

13. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.

Решение 6.

Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно.

Это утверждение является следствием одной из фундаментальных теорем математического анализа, которая гласит: любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Приведем доказательство этого факта.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится, и её предел равен числу $A$. Математически это записывается так:

$\lim_{n \to \infty} x_n = A$

По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ найдется такой номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:

$|x_n - A| < \epsilon$

Выберем конкретное значение $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда для этого значения существует номер $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется:

$|x_n - A| < 1$

Используя свойство модуля (неравенство треугольника), мы можем оценить $|x_n|$:

$|x_n| = |(x_n - A) + A| \le |x_n - A| + |A|$

Поскольку для $n > N$ мы знаем, что $|x_n - A| < 1$, то для этих же $n$ справедливо неравенство:

$|x_n| < 1 + |A|$

Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |A|$.

Теперь рассмотрим оставшиеся члены последовательности, которых конечное число: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, и оно, очевидно, является ограниченным. Возьмем в качестве ограничивающего числа для них величину $M_1$, равную максимальному из их модулей:

$M_1 = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|\}$

Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Для этого выберем максимальное из двух найденных ограничивающих значений:

$M = \max\{M_1, 1 + |A|\} = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |A|\}$

Таким образом, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.

Поскольку мы доказали, что любая сходящаяся последовательность обязательно является ограниченной, то не существует последовательности, которая бы удовлетворяла условию задачи.

Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.