Номер 13, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 13, страница 163.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№13 (с. 163)
Условие. №13 (с. 163)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 163, номер 13, Условие

13. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.

Решение 6. №13 (с. 163)

Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно.

Это утверждение является следствием одной из фундаментальных теорем математического анализа, которая гласит: любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Приведем доказательство этого факта.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится, и её предел равен числу $A$. Математически это записывается так:

$\lim_{n \to \infty} x_n = A$

По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ найдется такой номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:

$|x_n - A| < \epsilon$

Выберем конкретное значение $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда для этого значения существует номер $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется:

$|x_n - A| < 1$

Используя свойство модуля (неравенство треугольника), мы можем оценить $|x_n|$:

$|x_n| = |(x_n - A) + A| \le |x_n - A| + |A|$

Поскольку для $n > N$ мы знаем, что $|x_n - A| < 1$, то для этих же $n$ справедливо неравенство:

$|x_n| < 1 + |A|$

Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |A|$.

Теперь рассмотрим оставшиеся члены последовательности, которых конечное число: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, и оно, очевидно, является ограниченным. Возьмем в качестве ограничивающего числа для них величину $M_1$, равную максимальному из их модулей:

$M_1 = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|\}$

Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Для этого выберем максимальное из двух найденных ограничивающих значений:

$M = \max\{M_1, 1 + |A|\} = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |A|\}$

Таким образом, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной.

Поскольку мы доказали, что любая сходящаяся последовательность обязательно является ограниченной, то не существует последовательности, которая бы удовлетворяла условию задачи.

Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться