Номер 1, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §25 - номер 1, страница 167.

Условие.

1. Какую числовую последовательность называют геометрической прогрессией?

Решение 6.

1.

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля, и каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число. Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. Первый член последовательности обозначается как $b_1$.

Таким образом, для геометрической прогрессии $(b_n)$ выполняются следующие условия:

1. Первый член не равен нулю: $b_1 \neq 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $q \neq 0$.

3. Каждый следующий член связан с предыдущим рекуррентной формулой: $b_{n+1} = b_n \cdot q$ для любого натурального $n \geq 1$.

Из этой формулы следует, что знаменатель прогрессии можно найти как отношение любого члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \dots = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Формула для нахождения любого $n$-го члена прогрессии, зная первый член и знаменатель, выглядит так:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Примеры геометрических прогрессий:

- Последовательность 3, 6, 12, 24, 48, ... Здесь первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.
- Последовательность 100, 50, 25, 12.5, ... Здесь первый член $b_1 = 100$, а знаменатель $q = 0.5$ (или $q = \frac{1}{2}$).
- Последовательность 5, -15, 45, -135, ... Здесь первый член $b_1 = 5$, а знаменатель $q = -3$. Эта прогрессия является знакочередующейся.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называемое знаменателем прогрессии.