Номер 1, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §26. ч. 1 - номер 1, страница 178.

1. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$.

1.

Требуется начертить график функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$.

Это математическое выражение означает, что по мере того, как значение $x$ становится все больше и больше (стремится к плюс бесконечности), значение функции $f(x)$ становится все ближе и ближе к 3. В графическом представлении это означает, что у графика функции есть горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to +\infty$.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этому условию. Выберем одну из самых простых для построения.

Пример функции:

Рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

Проверим, выполняется ли для нее заданное условие:

$\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} 3 + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 3 + 0 = 3.$

Условие выполняется. Теперь опишем, как начертить ее график.

Построение графика:

График функции $y = 3 + \frac{1}{x}$ — это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещенная на 3 единицы вверх по оси ординат (Oy).

1. Сначала в системе координат OXY нужно начертить пунктирной линией горизонтальную асимптоту $y = 3$.
2. График также имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).
3. Для $x > 0$ значения $f(x)$ будут больше 3 (например, при $x=1, y=4$; при $x=2, y=3.5$). С увеличением $x$ значение $y$ будет уменьшаться, приближаясь к 3. Таким образом, в правой полуплоскости график будет представлять собой кривую, которая "спускается" из точки $(1,4)$ и неограниченно приближается к линии $y=3$ сверху.
4. Для $x < 0$ значения $f(x)$ будут меньше 3 (например, при $x=-1, y=2$; при $x=-2, y=2.5$). В левой полуплоскости кривая будет приближаться к асимптоте $y=3$ снизу.

Так как условие задано только для $x \to +\infty$, для ответа на вопрос достаточно начертить правую ветвь гиперболы, которая показывает, как функция стремится к 3.

Другой, более простой пример:

Функция $f(x) = 3$. Ее график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$. Для нее предел при $x \to +\infty$ очевидно равен 3.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. Ее график — это гипербола, которая при $x \to +\infty$ неограниченно приближается сверху к горизонтальной прямой $y=3$, являющейся ее асимптотой.