Номер 16, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 16, страница 164.

16. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей.

Теорема об арифметических операциях над пределами утверждает, что если существуют конечные пределы двух числовых последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$: $ \lim_{n \to \infty} x_n = A $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = B $, где $A$ и $B$ — действительные числа, то существуют и пределы их суммы, разности, произведения и частного (при дополнительном условии для частного), которые вычисляются по следующим правилам.

Предел суммы

Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = A + B $.

Предел разности

Предел разности двух сходящихся последовательностей равен разности их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n = A - B $.

Предел произведения

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = A \cdot B $.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если $c$ — константа, то предел произведения константы на сходящуюся последовательность равен произведению этой константы на предел последовательности.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot A $.

Предел частного

Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел последовательности в знаменателе не равен нулю.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{A}{B} $ (при условии, что $ B \neq 0 $).