Номер 16, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 16, страница 164.

Условие.

16. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей.

Решение 6.

Теорема об арифметических операциях над пределами утверждает, что если существуют конечные пределы двух числовых последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$: $ \lim_{n \to \infty} x_n = A $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = B $, где $A$ и $B$ — действительные числа, то существуют и пределы их суммы, разности, произведения и частного (при дополнительном условии для частного), которые вычисляются по следующим правилам.

Предел суммы

Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = A + B $.

Предел разности

Предел разности двух сходящихся последовательностей равен разности их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n = A - B $.

Предел произведения

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = A \cdot B $.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если $c$ — константа, то предел произведения константы на сходящуюся последовательность равен произведению этой константы на предел последовательности.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot A $.

Предел частного

Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел последовательности в знаменателе не равен нулю.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{A}{B} $ (при условии, что $ B \neq 0 $).