Номер 10, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 10, страница 163.

Условие.

10. При каких значениях $q$ предел последовательности $y_n = q^n$:

a) равен 0;

б) равен 1;

в) не существует?

Решение 6.

Рассмотрим предел последовательности $y_n = q^n$ при $n \to \infty$ в зависимости от значения параметра $q$. Поведение последовательности кардинально меняется в зависимости от того, попадает ли $q$ в интервалы $(-\infty, -1]$, $(-1, 1)$, $\{1\}$ или $(1, \infty)$.

а) предел равен 0

Предел последовательности $\lim_{n \to \infty} q^n$ равен нулю тогда и только тогда, когда модуль основания $q$ строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Докажем это, рассмотрев три случая:

1. Если $q = 0$, то последовательность, начиная со второго члена, является постоянной и равной нулю: $y_n = 0^n = 0$ для $n \ge 1$. Предел такой последовательности равен $0$.
2. Если $0 < q < 1$, то последовательность $y_n = q^n$ является убывающей и ограниченной снизу нулём. По теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Этот предел равен нулю. Например, для $q = \frac{1}{2}$, последовательность $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ очевидно стремится к $0$.
3. Если $-1 < q < 0$, то последовательность является знакочередующейся. Возьмём её по модулю: $|y_n| = |q^n| = |q|^n$. Так как $-1 < q < 0$, то $0 < |q| < 1$. Согласно предыдущему пункту, $\lim_{n \to \infty} |q|^n = 0$. Если предел модуля последовательности равен нулю, то и предел самой последовательности равен нулю.

Следовательно, предел равен 0 при всех $q$, удовлетворяющих условию $|q|<1$.

Ответ: $-1 < q < 1$.

б) предел равен 1

Рассмотрим, при каком значении $q$ предел последовательности $y_n = q^n$ равен единице.

Если $q = 1$, то каждый член последовательности $y_n = 1^n$ равен 1. Мы получаем стационарную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Предел такой последовательности равен 1.

$\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$.

Из анализа в пунктах а) и в) следует, что при любых других значениях $q$ предел либо равен 0, либо не существует. Таким образом, $q=1$ является единственным значением, при котором предел равен 1.

Ответ: $q=1$.

в) предел не существует

Предел последовательности не существует, если она расходится. Расходимость означает, что последовательность не стремится ни к какому конечному числу. Это происходит в следующих случаях:

1. Если $q > 1$, члены последовательности $y_n = q^n$ неограниченно возрастают. Предел такой последовательности равен плюс бесконечности: $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$. Так как предел не является конечным числом, говорят, что конечный предел не существует.
2. Если $q = -1$, последовательность $y_n = (-1)^n$ принимает вид $-1, 1, -1, 1, \dots$. Она имеет две предельные точки ($-1$ и $1$) и не сходится к одному значению. Следовательно, предел не существует.
3. Если $q < -1$, то модуль членов последовательности $|y_n| = |q|^n$ неограниченно возрастает, поскольку $|q|>1$. При этом знак членов последовательности постоянно чередуется. Например, при $q=-2$, имеем $-2, 4, -8, 16, \dots$. Последовательность не стремится ни к конечному пределу, ни к $+\infty$ или $-\infty$. Таким образом, предел не существует.

Объединяя эти три случая, мы заключаем, что предел последовательности $y_n=q^n$ не существует при $q \le -1$ и при $q > 1$.

Ответ: $q \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$.