Номер 10, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 10, страница 163.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№10 (с. 163)
Условие. №10 (с. 163)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 163, номер 10, Условие

10. При каких значениях $q$ предел последовательности $y_n = q^n$:

a) равен 0;

б) равен 1;

в) не существует?

Решение 6. №10 (с. 163)

Рассмотрим предел последовательности $y_n = q^n$ при $n \to \infty$ в зависимости от значения параметра $q$. Поведение последовательности кардинально меняется в зависимости от того, попадает ли $q$ в интервалы $(-\infty, -1]$, $(-1, 1)$, $\{1\}$ или $(1, \infty)$.

а) предел равен 0

Предел последовательности $\lim_{n \to \infty} q^n$ равен нулю тогда и только тогда, когда модуль основания $q$ строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Докажем это, рассмотрев три случая:

  1. Если $q = 0$, то последовательность, начиная со второго члена, является постоянной и равной нулю: $y_n = 0^n = 0$ для $n \ge 1$. Предел такой последовательности равен $0$.
  2. Если $0 < q < 1$, то последовательность $y_n = q^n$ является убывающей и ограниченной снизу нулём. По теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Этот предел равен нулю. Например, для $q = \frac{1}{2}$, последовательность $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ очевидно стремится к $0$.
  3. Если $-1 < q < 0$, то последовательность является знакочередующейся. Возьмём её по модулю: $|y_n| = |q^n| = |q|^n$. Так как $-1 < q < 0$, то $0 < |q| < 1$. Согласно предыдущему пункту, $\lim_{n \to \infty} |q|^n = 0$. Если предел модуля последовательности равен нулю, то и предел самой последовательности равен нулю.

Следовательно, предел равен 0 при всех $q$, удовлетворяющих условию $|q|<1$.

Ответ: $-1 < q < 1$.

б) предел равен 1

Рассмотрим, при каком значении $q$ предел последовательности $y_n = q^n$ равен единице.

Если $q = 1$, то каждый член последовательности $y_n = 1^n$ равен 1. Мы получаем стационарную последовательность $1, 1, 1, \dots$. Предел такой последовательности равен 1.

$\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$.

Из анализа в пунктах а) и в) следует, что при любых других значениях $q$ предел либо равен 0, либо не существует. Таким образом, $q=1$ является единственным значением, при котором предел равен 1.

Ответ: $q=1$.

в) предел не существует

Предел последовательности не существует, если она расходится. Расходимость означает, что последовательность не стремится ни к какому конечному числу. Это происходит в следующих случаях:

  1. Если $q > 1$, члены последовательности $y_n = q^n$ неограниченно возрастают. Предел такой последовательности равен плюс бесконечности: $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$. Так как предел не является конечным числом, говорят, что конечный предел не существует.
  2. Если $q = -1$, последовательность $y_n = (-1)^n$ принимает вид $-1, 1, -1, 1, \dots$. Она имеет две предельные точки ($-1$ и $1$) и не сходится к одному значению. Следовательно, предел не существует.
  3. Если $q < -1$, то модуль членов последовательности $|y_n| = |q|^n$ неограниченно возрастает, поскольку $|q|>1$. При этом знак членов последовательности постоянно чередуется. Например, при $q=-2$, имеем $-2, 4, -8, 16, \dots$. Последовательность не стремится ни к конечному пределу, ни к $+\infty$ или $-\infty$. Таким образом, предел не существует.

Объединяя эти три случая, мы заключаем, что предел последовательности $y_n=q^n$ не существует при $q \le -1$ и при $q > 1$.

Ответ: $q \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться