Номер 11, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 11, страница 163.

11. Даны два утверждения. A: числовая последовательность сходится. B: числовая последовательность является ограниченной. Какое из приведённых ниже соотношений является верным:

а) $A \Rightarrow B$;

б) $B \Rightarrow A$;

в) $A \Leftrightarrow B$?

Для решения этой задачи проанализируем каждое из предложенных соотношений между утверждениями A и B.

Утверждение A: числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится. Это означает, что существует конечный предел $L$, к которому стремятся члены последовательности: $\lim_{n \to \infty} x_n = L$.

Утверждение B: числовая последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $m \le x_n \le M$.

а) A ⇒ B

Это соотношение утверждает: "Если числовая последовательность сходится, то она является ограниченной".

Это утверждение является фундаментальной теоремой в математическом анализе (необходимое условие сходимости последовательности) и оно верно. Докажем это.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к числу $L$. По определению предела, для любого $\epsilon > 0$ существует такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - L| < \epsilon$.

Возьмем, к примеру, $\epsilon = 1$. Тогда найдется такое $N$, что для всех $n > N$ будет верно $|x_n - L| < 1$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $L - 1 < x_n < L + 1$. Таким образом, все члены последовательности, начиная с номера $N+1$ (так называемый "хвост" последовательности), ограничены.

Осталось рассмотреть первые $N$ членов последовательности: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечное множество чисел, а любое конечное множество всегда ограничено. Пусть $m_1 = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ и $M_1 = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$.

Тогда для всей последовательности мы можем выбрать общие границы. В качестве нижней границы возьмем $m = \min\{m_1, L-1\}$, а в качестве верхней $M = \max\{M_1, L+1\}$.

Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется $m \le x_n \le M$, что и означает ограниченность последовательности $\{x_n\}$.

Следовательно, импликация $A \Rightarrow B$ верна.

Ответ: Верно.

б) B ⇒ A

Это соотношение утверждает: "Если числовая последовательность является ограниченной, то она сходится".

Это утверждение в общем случае неверно. Для его опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$. Её члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...

Эта последовательность является ограниченной, так как для любого $n$ выполняется $|x_n| \le 1$, то есть все её члены лежат в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, утверждение B для этой последовательности истинно.

Однако эта последовательность не сходится. У нее есть две предельные точки (частичных предела): -1 и 1. Для того чтобы последовательность сходилась, она должна иметь только одну предельную точку. Так как последовательность не стремится к единственному пределу, она является расходящейся. Таким образом, утверждение A для этой последовательности ложно.

Поскольку мы нашли пример ограниченной, но расходящейся последовательности, импликация $B \Rightarrow A$ не является верной в общем случае.

Ответ: Неверно.

в) A ⇔ B

Это соотношение утверждает: "Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной".

Эквивалентность $A \Leftrightarrow B$ истинна только в том случае, когда истинны обе импликации: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$.

Как мы установили в пункте а), импликация $A \Rightarrow B$ верна.

Как мы установили в пункте б), импликация $B \Rightarrow A$ неверна.

Поскольку одна из импликаций ложна, то и вся эквивалентность является ложной.

Ответ: Неверно.

Таким образом, единственным верным соотношением из предложенных является а) A ⇒ B.