Номер 15, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 15, страница 164.

15. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.

Под названием «теорема Вейерштрасса» в математическом анализе известно несколько важных утверждений. Как правило, в курсах анализа под этим названием подразумевают одну из двух теорем о свойствах непрерывных функций и ограниченных последовательностей, но существуют и другие важные теоремы, носящие имя Карла Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса (об экстремальных значениях)

Эта теорема, также известная как теорема о функции, непрерывной на компакте, утверждает, что непрерывная на замкнутом отрезке функция обязательно является ограниченной на этом отрезке и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Формулировка:
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке и существуют такие точки $x_{min} \in [a, b]$ и $x_{max} \in [a, b]$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняется двойное неравенство: $$ f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max}) $$ Таким образом, функция достигает своего наименьшего значения (минимума) $m = f(x_{min})$ и наибольшего значения (максимума) $M = f(x_{max})$ на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Вторая теорема Вейерштрасса (теорема Больцано — Вейерштрасса)

Эта теорема является ключевым результатом в анализе последовательностей и утверждает, что в любой ограниченной бесконечной последовательности действительных чисел всегда можно найти сходящуюся подпоследовательность.

Формулировка для последовательностей:
Из любой ограниченной числовой последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$.

Формулировка для множеств:
Любое бесконечное ограниченное подмножество действительных чисел $(\mathbb{R})$ имеет по крайней мере одну предельную точку.

Ответ: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Теорема устанавливает возможность приближения любой непрерывной функции многочленами с любой степенью точности. Она является фундаментальной в теории приближений.

Формулировка:
Для любой функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a, b]$, и для любого сколь угодно малого числа $\varepsilon > 0$ существует алгебраический многочлен $P(x)$ такой, что для всех $x \in [a, b]$ выполняется неравенство: $$|f(x) - P(x)| < \varepsilon$$ Это эквивалентно утверждению, что множество всех многочленов плотно в пространстве непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $C[a, b]$ с равномерной нормой.

Ответ: Всякая функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно приближена на этом отрезке многочленами с любой наперёд заданной точностью.

Признак Вейерштрасса для равномерной сходимости

Этот признак, также известный как M-тест Вейерштрасса, предоставляет удобное достаточное условие для установления равномерной сходимости функциональных рядов.

Формулировка:
Пусть дан функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$, определённый на множестве $X$. Если существует сходящийся числовой ряд с неотрицательными членами $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ (мажорантный ряд) такой, что для всех натуральных $n$ и для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|u_n(x)| \le a_n$, то функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится на множестве $X$ абсолютно и равномерно.

Ответ: Если члены функционального ряда на некотором множестве по абсолютной величине не превосходят членов сходящегося положительного числового ряда, то функциональный ряд сходится на этом множестве абсолютно и равномерно.