Номер 17, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §24. ч. 1 - номер 17, страница 164.

17. Объясните, почему $\lim_{n\to\infty} \frac{2018}{n^5} = 0.$

17.

Равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{2018}{n^5} = 0$ объясняется поведением числителя и знаменателя дроби, когда переменная $n$ стремится к бесконечности.

Интуитивное объяснение:

Числитель дроби — это постоянное число $2018$. Знаменатель дроби — это $n^5$. Когда $n$ неограниченно возрастает, знаменатель $n^5$ также возрастает неограниченно, становясь огромным числом. Мы делим постоянное число на всё большее и большее число.

Например:

• Если $n = 10$, то $\frac{2018}{10^5} = \frac{2018}{100\,000} = 0.02018$.
• Если $n = 100$, то $\frac{2018}{100^5} = \frac{2018}{10\,000\,000\,000} = 0.0000002018$.

Как видно из примеров, с ростом $n$ значение дроби становится всё ближе и ближе к нулю. В пределе, когда знаменатель стремится к бесконечности ($\infty$), значение всей дроби стремится к нулю.

Формальное объяснение с использованием свойств пределов:

Можно вынести постоянный множитель $2018$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2018}{n^5} = 2018 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} $$

Согласно одному из основных свойств пределов, предел вида $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p}$ равен нулю для любого положительного числа $p$ ($p>0$). В данном случае $p=5$, что больше нуля, поэтому: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} = 0 $$

Подставив это значение в наше выражение, получаем: $$ 2018 \cdot 0 = 0 $$

Ответ: Предел равен нулю, потому что числитель дроби является константой, а знаменатель $n^5$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$. Деление константы на бесконечно большую величину в пределе даёт ноль.