Номер 4, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §26. ч. 1 - номер 4, страница 178.

$x \to \infty$

4. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняются соотношения $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, причём функция:

а) монотонна;

б) немонотонна.

Условия задачи определяют поведение функции на бесконечности, то есть наличие у нее горизонтальных асимптот.

Соотношение $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3 $ означает, что график функции $y=f(x)$ неограниченно приближается к горизонтальной прямой (асимптоте) $y=3$ при $x$, стремящемся к минус бесконечности.

Соотношение $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2 $ означает, что график функции неограниченно приближается к горизонтальной прямой (асимптоте) $y=-2$ при $x$, стремящемся к плюс бесконечности.

а) монотонна

Монотонная функция — это функция, которая на всей своей области определения либо только убывает (или не возрастает), либо только возрастает (или не убывает).

Поскольку предел функции при $x \to -\infty$ равен 3, а при $x \to +\infty$ равен -2, и при этом $3 > -2$, то для того, чтобы функция была монотонной, она должна быть монотонно убывающей. График такой функции будет плавно переходить от асимптоты $y=3$ к асимптоте $y=-2$, не имея при этом участков возрастания (локальных минимумов и максимумов).

Ниже представлен пример графика такой функции. Пунктирными линиями обозначены горизонтальные асимптоты $y=3$ и $y=-2$.

Ответ: График монотонно убывающей функции, которая при $x \to -\infty$ стремится к 3, а при $x \to +\infty$ стремится к -2, представлен выше.

б) немонотонна

Немонотонная функция — это функция, которая на своей области определения имеет как участки возрастания, так и участки убывания. На графике это проявляется в виде "колебаний" — наличия локальных максимумов и минимумов.

При этом общие требования к поведению на бесконечности остаются теми же: функция должна стремиться к $y=3$ слева и к $y=-2$ справа. Между этими "конечными точками" график может вести себя немонотонно. Например, функция может сначала убывать, достичь локального минимума, затем возрастать до локального максимума, и после этого снова убывать, стремясь к своей асимптоте $y=-2$. Важно отметить, что график функции может пересекать свои асимптоты.

Ниже представлен пример графика такой функции.

Ответ: График немонотонной функции, имеющей локальный минимум и максимум, но удовлетворяющей заданным предельным условиям, представлен выше.