Номер 6, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §26 - номер 6, страница 178.

Условие.

6. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности.

Решение 6.

Теорема об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности устанавливает правила для нахождения предела суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих конечные пределы.

Формулировка:

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой окрестности бесконечности (т.е. на интервале вида $(a, +\infty)$ или $(-\infty, a)$) и пусть существуют их конечные пределы при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = B$

где $A$ и $B$ — действительные числа. Тогда справедливы следующие утверждения.

(Примечание: все правила верны как для $x \to \infty$, так и для односторонних пределов на бесконечности $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$)

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = A + B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$.

Предел разности

Предел разности двух функций равен разности их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) - \lim_{x \to \infty} g(x) = A - B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = A - B$.

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) = A \cdot B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$.

Вынесение постоянного множителя

Как следствие из правила о пределе произведения, постоянный множитель можно выносить за знак предела.

$\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = c \cdot A$, где $c$ - постоянная.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot A$.

Предел частного

Предел частного (отношения) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{A}{B}$

Данное правило справедливо только при выполнении условия $B = \lim_{x \to \infty} g(x) \neq 0$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии $B \neq 0$.