Номер 2, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §27 - номер 2, страница 186.

Условие.

2. Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t? Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения $s = s(t)$.

Решение 6.

Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t?

Под мгновенной скоростью материальной точки в конкретный момент времени $t$ понимают предел, к которому стремится её средняя скорость за промежуток времени $\Delta t$, когда этот промежуток стремится к нулю.

Рассмотрим процесс подробнее. Пусть закон прямолинейного движения материальной точки задан функцией $s = s(t)$, где $s$ — это координата точки в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$ точка совершит перемещение $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$.

Средняя скорость движения на этом промежутке времени вычисляется как отношение перемещения ко времени:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Чтобы получить скорость не за промежуток, а точно в момент $t$, мы должны сделать промежуток времени $\Delta t$ бесконечно малым, то есть устремить его к нулю. Этот предельный переход от средней скорости к мгновенной и является сутью определения.

Ответ: Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени $t$ — это предел отношения приращения пути $\Delta s$ к соответствующему приращению времени $\Delta t$, когда приращение времени стремится к нулю.

Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения s = s(t).

Исходя из определения, мгновенная скорость $v(t)$ является пределом средней скорости $v_{ср}$ при $\Delta t \to 0$. Математически это записывается так:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Данное выражение является определением производной функции $s(t)$ по аргументу $t$. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t$ равна производной от пути по времени.

Следовательно, формула для вычисления мгновенной скорости имеет вид:
$v(t) = s'(t)$

Ответ: Формула для вычисления мгновенной скорости: $v(t) = s'(t)$ или $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.