Номер 6, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 6, страница 186.

6. Что называют производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$?

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и является конечным числом.

Обозначим приращение аргумента как $\Delta x$. Соответствующее ему приращение функции будет $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$.

Тогда производная функции $f(x)$ в точке $a$, обозначаемая $f'(a)$, определяется формулой:

$$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

Эквивалентная форма записи, где полагается $x = a + \Delta x$, и, следовательно, $x \to a$ при $\Delta x \to 0$:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

Геометрический смысл производной
Значение производной $f'(a)$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$. Этот коэффициент также равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha) = f'(a)$.

Физический смысл производной
Производная характеризует мгновенную скорость изменения функции в данной точке. Если функция $s(t)$ описывает закон движения точки (зависимость пути от времени), то ее производная $s'(a)$ представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени $t=a$.

Ответ: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называют предел отношения приращения функции $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен. Формула для вычисления производной: $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.