Номер 11, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §27 - номер 11, страница 186.

Условие.

11. Чему равна производная функции:

а) $y = 5$;

б) $y = kx + m$;

в) $y = x^2$;

г) $y = \frac{1}{x}$?

Решение 6.

а) Дана функция $y = 5$. Это константная функция, так как её значение не зависит от переменной $x$. Производная любой константной функции равна нулю.
Согласно правилу дифференцирования константы: $(C)' = 0$, где $C$ - постоянная.
В данном случае $C = 5$, следовательно, производная функции $y'$ равна:
$y' = (5)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

б) Дана линейная функция $y = kx + m$, где $k$ и $m$ - константы.
Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования:
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(C \cdot u)' = C \cdot u'$.
3. Производная независимой переменной равна единице: $(x)' = 1$.
4. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (kx + m)' = (kx)' + (m)'$.
Используя правила 2 и 3, находим производную первого слагаемого: $(kx)' = k \cdot (x)' = k \cdot 1 = k$.
Используя правило 4, находим производную второго слагаемого: $(m)' = 0$.
Следовательно, $y' = k + 0 = k$.
Ответ: $y' = k$.

в) Дана степенная функция $y = x^2$.
Для нахождения производной степенной функции используется общая формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае показатель степени $n = 2$. Подставим это значение в формулу:
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x^1 = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{x}$.
Для нахождения производной представим эту функцию в виде степенной, используя свойство степеней с отрицательным показателем: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.
Таким образом, $y = x^{-1}$.
Теперь применим формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = -1$.
$y' = (x^{-1})' = (-1) \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби: $-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.