Номер 14, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 14, страница 187.

14. Какая существует связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке является фундаментальным положением математического анализа. Она описывается следующей теоремой: дифференцируемость является более сильным свойством, чем непрерывность.

Теорема: Из дифференцируемости следует непрерывность

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. По определению, это означает, что существует конечный предел, равный производной функции в этой точке:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$, нам необходимо показать, что предел функции в этой точке равен ее значению в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это условие эквивалентно следующему:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$

Рассмотрим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Для $\Delta x \neq 0$ мы можем записать тождество:

$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$, используя теорему о пределе произведения:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)$

$= \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \right)$

Поскольку функция дифференцируема, первый предел равен $f'(x_0)$. Второй предел очевидно равен 0. Таким образом, получаем:

$= f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Мы доказали, что предел приращения функции равен нулю, а значит, функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

Обратное утверждение: Из непрерывности не следует дифференцируемость

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной. Это означает, что непрерывность является необходимым, но не достаточным условием для дифференцируемости.

Контрпример:

Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$.

1. Проверка на непрерывность.
   Значение функции в точке: $f(0) = |0| = 0$.
   Предел функции в точке: $\lim_{x \to 0} |x| = 0$.
   Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, функция непрерывна в точке $x=0$.

2. Проверка на дифференцируемость.
   Найдем производную по определению: $f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$.
   Чтобы этот предел существовал, должны существовать и быть равными односторонние пределы.
   Предел справа (когда $\Delta x > 0$): $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.
   Предел слева (когда $\Delta x < 0$): $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.
   Поскольку односторонние пределы не равны ($1 \neq -1$), предел не существует. Следовательно, функция $f(x) = |x|$ не дифференцируема в точке $x=0$.

Геометрически это означает, что график функции $y=|x|$ в точке $(0,0)$ имеет излом, и в этой точке невозможно однозначно провести касательную.

Ответ: Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке односторонняя. Если функция дифференцируема в точке, то она обязательно и непрерывна в этой точке. Однако обратное неверно: непрерывная в точке функция не обязательно является в ней дифференцируемой. Таким образом, дифференцируемость — это более сильное требование, чем непрерывность.