Номер 1, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 1, страница 197.

1. Чему равна производная функции:

a) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sin x$;

в) $y = \cos x$?

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}$ сначала представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/2}$. Затем применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n = 1/2$.
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} \cdot x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}$
Преобразуем выражение с отрицательной степенью: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
В результате получаем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) Производная функции $y = \sin x$ является одной из стандартных производных в таблице производных элементарных функций. Производная функции синус равна косинусу.
$y' = (\sin x)' = \cos x$
Ответ: $y' = \cos x$

в) Производная функции $y = \cos x$ также является табличной. Согласно правилам дифференцирования, производная функции косинус равна минус синусу.
$y' = (\cos x)' = -\sin x$
Ответ: $y' = -\sin x$