Номер 15, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 15, страница 187.

15. Приведите пример графически заданной функции, которая дифференцируема во всех точках числовой прямой за исключением:

а) одной точки;

б) двух точек;

в) трёх точек.

а) В качестве примера функции, которая дифференцируема во всех точках числовой прямой за исключением одной, можно рассмотреть функцию модуля (абсолютной величины): $y = |x|$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Графически она представляет собой два луча, выходящих из начала координат. Для $x \ge 0$ это луч $y=x$, а для $x < 0$ — луч $y=-x$. В точке $(0,0)$ эти лучи образуют "излом" (угол), что является графическим признаком отсутствия производной. Формально, производная в точке $x=0$ не существует, так как левосторонняя производная в этой точке равна $-1$, а правосторонняя производная равна $1$. Поскольку односторонние производные не совпадают, функция не дифференцируема в точке $x=0$. Во всех остальных точках функция дифференцируема.
Ответ: Функция $y = |x|$, которая не дифференцируема в одной точке $x=0$.

б) В качестве примера функции, недифференцируемой ровно в двух точках, можно взять сумму двух модулей, например, $y = |x+1| + |x-1|$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Ее график состоит из трех линейных участков, которые образуют "изломы" в точках, где подмодульные выражения равны нулю, то есть при $x=-1$ и $x=1$.
• При $x < -1$ график представляет собой луч $y = -2x$.
• При $-1 \le x \le 1$ график является горизонтальным отрезком $y=2$.
• При $x > 1$ график представляет собой луч $y = 2x$.В точке $x=-1$ левая производная равна $-2$ (наклон луча $y=-2x$), а правая производная равна $0$ (наклон отрезка $y=2$). В точке $x=1$ левая производная равна $0$, а правая — $2$. Так как в обеих точках односторонние производные различны, функция не является дифференцируемой в точках $x=-1$ и $x=1$.
Ответ: Функция $y = |x+1| + |x-1|$, которая не дифференцируема в двух точках $x=-1$ и $x=1$.

в) По аналогии с предыдущими пунктами, для получения функции, недифференцируемой в трех точках, можно рассмотреть сумму трех модулей, например: $y = |x+2| + |x| + |x-2|$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. График этой функции имеет "изломы" в точках $x=-2$, $x=0$ и $x=2$. В каждой из этих точек происходит смена выражения для функции, и, как следствие, меняется наклон касательной (производная).
Проанализируем производные в точках "излома":
- В точке $x=-2$ левая производная равна $-3$, а правая — $-1$.
- В точке $x=0$ левая производная равна $-1$, а правая — $1$.
- В точке $x=2$ левая производная равна $1$, а правая — $3$.
Поскольку в каждой из этих трех точек односторонние производные не совпадают, функция в них не дифференцируема. Во всех остальных точках числовой прямой функция дифференцируема.
Ответ: Функция $y = |x+2| + |x| + |x-2|$, которая не дифференцируема в трех точках $x=-2, x=0$ и $x=2$.