Номер 12, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §27 - номер 12, страница 186.

Условие.

12. Какую функцию называют дифференцируемой в точке? 13. Какое графики функции сделать вывод о её дифференцируемости?

Решение 6.

12.

Функцию $y = f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta y$ в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Математически это определение записывается так:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Таким образом, можно сказать, что функция дифференцируема в точке, если в этой точке у нее существует конечная производная.

Существует и другое, эквивалентное определение:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ в этой точке можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ (читается "о малое от дельта икс") — это функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$, то есть для нее выполняется условие $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$.

В этой записи число $A$ как раз и равно значению производной функции в точке $x_0$, то есть $A = f'(x_0)$. Линейная часть приращения $A \cdot \Delta x$ называется дифференциалом функции в точке $x_0$ и обозначается $dy$ или $df(x_0)$.

Геометрический смысл дифференцируемости заключается в том, что у графика функции в точке $(x_0, f(x_0))$ существует невертикальная касательная. Угловой коэффициент этой касательной равен значению производной $f'(x_0)$.

Важным свойством является то, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция не всегда является дифференцируемой (например, функция $y = |x|$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема в ней).

Ответ:

Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке существует ее конечная производная, то есть существует конечный предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

13.

Сделать вывод о дифференцируемости функции в некоторой точке по её графику можно, проанализировав поведение графика в окрестности этой точки. Функция дифференцируема в точке, если ее график в этой точке "гладкий" и имеет единственную невертикальную касательную.

Признаки недифференцируемости функции в точке $x_0$ на графике следующие:

1. Точки разрыва. Если в точке $x_0$ график функции имеет разрыв (скачок, "выколотую" точку или уходит на бесконечность), то функция в этой точке не является непрерывной, а следовательно, и недифференцируемой. Дифференцируемость в точке подразумевает непрерывность в ней.

2. Точки излома ("острые углы"). Это точки, в которых график резко меняет направление. В таких точках левая и правая производные не равны, что означает отсутствие единой касательной. Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x=0$.

3. Точки возврата ("каспы"). Это частный случай излома, где график подходит к точке с одной стороны и "возвращается" в ту же сторону. В такой точке касательная обычно вертикальна. Пример — функция $y = x^{2/3}$ в точке $x=0$.

4. Вертикальная касательная. Если касательная к графику функции в точке $x_0$ существует, но она вертикальна (параллельна оси OY), то производная в этой точке обращается в бесконечность. Поскольку для дифференцируемости требуется конечная производная, в такой точке функция недифференцируема. Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$.

Таким образом, чтобы сделать вывод о дифференцируемости функции на некотором интервале по ее графику, нужно убедиться, что на всем этом интервале график является непрерывной, плавной линией без разрывов, изломов и точек с вертикальными касательными.

Ответ:

По графику функции можно сделать вывод, что функция дифференцируема в точке, если в этой точке график является гладким, то есть не имеет разрывов, "острых углов" (изломов), точек возврата или вертикальных касательных. Наличие любого из этих элементов в точке свидетельствует о недифференцируемости функции в этой точке.