Номер 10, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 10, страница 186.

10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно вычислить $f'(a)$ для функции $y = f(x)$.

Чтобы вычислить значение производной $f'(a)$ для функции $y = f(x)$ в точке $x = a$, необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

1. Нахождение производной функции $f'(x)$

   Это основной этап, который заключается в нахождении общего выражения для производной. Для этого необходимо:

   • Проанализировать вид функции $f(x)$: является ли она степенной, тригонометрической, показательной, логарифмической или их комбинацией (сумма, произведение, частное, сложная функция).
   • Применить соответствующие правила дифференцирования и формулы из таблицы производных. Основные правила:
     • Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
     • Производная произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'
     • Производная частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
     • Производная сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • Упростить полученное выражение для $f'(x)$, если это возможно. Это облегчит дальнейшие вычисления.
2. Подстановка значения $x=a$ в выражение для производной

   После того как найдена функция $f'(x)$, нужно найти ее частное значение в заданной точке. Этот шаг включает:

   • Проверку, что точка $a$ принадлежит области определения производной $f'(x)$. Если производная в этой точке не существует (например, происходит деление на ноль), то вычислить $f'(a)$ невозможно.
   • Замену переменной $x$ на ее конкретное значение $a$ в выражении для $f'(x)$.
3. Вычисление результата

   Это заключительный, арифметический этап.

   • Необходимо выполнить все математические операции в выражении, полученном на предыдущем шаге.
   • Полученное число и будет искомым значением $f'(a)$.

Таким образом, процесс нахождения значения производной в точке можно разбить на три логических шага: дифференцирование, подстановка и вычисление.

В качестве альтернативы, особенно в теоретических задачах, можно использовать непосредственное определение производной в точке:

$$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

Этот метод требует нахождения предела разностного отношения и, как правило, более трудоемок для большинства функций.

Ответ: Для вычисления $f'(a)$ необходимо: 1. Найти производную функцию $f'(x)$, используя правила дифференцирования и таблицу производных. 2. Подставить значение $a$ вместо $x$ в полученное выражение для $f'(x)$. 3. Вычислить итоговое числовое значение.