Номер 3, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 3, страница 186.

3. Как определяют касательную к плоской кривой?

Определение касательной к плоской кривой можно дать несколькими способами, в зависимости от того, как задана сама кривая. Основные подходы — геометрический и аналитический (через производную).

1. Геометрическое определение

Это наиболее наглядное и интуитивно понятное определение. Пусть на плоской кривой L выбрана точка $M_0$. Возьмем на этой же кривой другую точку $M$, отличную от $M_0$. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Будем перемещать точку $M$ по кривой L, приближая ее к точке $M_0$. При этом секущая $M_0M$ будет вращаться вокруг точки $M_0$. Если при неограниченном приближении точки $M$ к $M_0$ (с любой стороны) секущая $M_0M$ стремится занять некоторое предельное положение, то эта прямая в своем предельном положении называется касательной к кривой L в точке $M_0$.

Ответ: Касательная к кривой в точке — это предельное положение секущей, проходящей через эту точку и другую точку на кривой, когда вторая точка стремится к первой.

2. Определение через производную (для явной функции)

Это основной способ нахождения касательной в математическом анализе. Пусть кривая задана как график функции $y = f(x)$, и функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Точка касания имеет координаты $M_0(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $M_0(x_0, f(x_0))$ и $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, равен: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Согласно геометрическому определению, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ является пределом углового коэффициента секущей при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$

Таким образом, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Зная точку $(x_0, y_0)$ и угловой коэффициент $k_{кас} = f'(x_0)$, можно записать уравнение касательной, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k_{кас}(x - x_0)$ или $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке касания, равное угловому коэффициенту касательной.

3. Уравнение касательной для параметрически заданной кривой

Если кривая задана параметрическими уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, и функции $x(t), y(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, то точка касания имеет координаты $(x(t_0), y(t_0))$.

Производная $\frac{dy}{dx}$ находится по формуле: $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$. Угловой коэффициент касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, равен: $k = \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=t_0} = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$

Это справедливо, если $x'(t_0) \neq 0$. Тогда уравнение касательной имеет вид: $y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x - x(t_0))$

Если $x'(t_0) = 0$, а $y'(t_0) \neq 0$, то касательная является вертикальной прямой с уравнением $x = x(t_0)$. Если $x'(t_0) = 0$ и $y'(t_0) = 0$, то точка является особой, и вопрос о касательной требует дополнительного исследования.

Ответ: Для кривой, заданной параметрически $x = x(t), y = y(t)$, уравнение касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, имеет вид $y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x - x(t_0))$ при условии, что $x'(t_0) \neq 0$.

4. Уравнение касательной для неявно заданной кривой

Пусть кривая задана уравнением $F(x, y) = 0$. Пусть $M_0(x_0, y_0)$ — неособая точка кривой, то есть в этой точке хотя бы одна из частных производных $\frac{\partial F}{\partial x}$ или $\frac{\partial F}{\partial y}$ не равна нулю.

Для нахождения углового коэффициента касательной $\frac{dy}{dx}$ используется неявное дифференцирование уравнения $F(x, y) = 0$ по переменной $x$: $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Отсюда, если $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$, угловой коэффициент в точке $(x_0, y_0)$ равен: $k = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0, y_0)} = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}$

Уравнение касательной можно записать в виде: $y - y_0 = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}(x - x_0)$

Более общая и удобная форма уравнения касательной, работающая и для вертикальных касательных (когда $F'_y(x_0, y_0) = 0$), получается из предыдущей умножением на $F'_y(x_0, y_0)$: $F'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0$

Ответ: Для кривой, заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$, уравнение касательной в неособой точке $(x_0, y_0)$ определяется как $F'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0$, где $F'_x$ и $F'_y$ — частные производные функции $F$, вычисленные в точке касания.