Номер 7, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 7, страница 186.

7. В чём состоит физический смысл производной?

Физический смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость изменения одной физической величины относительно другой. Если какая-либо физическая величина $y$ является функцией другой величины $x$, то есть $y = f(x)$, то производная $f'(x)$ показывает, насколько быстро изменяется $y$ в данный момент (или в данной точке) при бесконечно малом изменении $x$.

Наиболее классическим и понятным примером является механическое движение:

• Если закон движения материальной точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — это координата (путь), а $t$ — время, то производная от координаты по времени есть не что иное, как мгновенная скорость $v(t)$ этой точки в момент времени $t$. Она показывает, с какой скоростью меняется положение тела в данный конкретный момент.

  $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$

• В свою очередь, производная от скорости по времени — это мгновенное ускорение $a(t)$ точки в момент времени $t$. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела в данный момент.

  $a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{dv}{dt}$

Этот же принцип применим и ко многим другим физическим процессам:

• Сила тока ($I$) в проводнике — это производная от электрического заряда ($q$), прошедшего через поперечное сечение проводника, по времени ($t$): $I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$.

• Электродвижущая сила (ЭДС) индукции ($\mathcal{E}_{i}$) в замкнутом контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока ($\Phi$) через поверхность, ограниченную этим контуром: $\mathcal{E}_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}$.

• Мощность ($P$) — это скорость совершения работы ($A$) во времени, то есть производная работы по времени: $P(t) = \frac{dA}{dt}$.

• Линейная плотность ($\rho_l$) неоднородного стержня в точке $x$ — это производная массы ($m$) части стержня по его длине ($l$): $\rho_l(x) = \frac{dm}{dl}$.

Таким образом, производная является фундаментальным математическим инструментом в физике, позволяющим описывать мгновенные характеристики различных процессов, в отличие от средних характеристик, которые вычисляются для конечных интервалов.

Ответ: Физический смысл производной функции $y=f(x)$ заключается в том, что она представляет собой скорость изменения величины $y$ относительно величины $x$. В механике производная от координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.