Номер 13, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 13, страница 186.

13. Как по графику функции сделать вывод о её дифференцируемости?

Сделать вывод о дифференцируемости функции по её графику можно, проанализировав поведение графика в интересующей точке. Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Функция является дифференцируемой в точке, если в этой точке к её графику можно провести единственную невертикальную касательную. Визуально это означает, что в окрестности данной точки график является "гладкой" линией.

Функция недифференцируема в точке, если её график в этой точке имеет одну из следующих особенностей:

1. Разрыв

Необходимым условием дифференцируемости функции в точке является её непрерывность в этой точке. Если график функции имеет разрыв, то провести в этой точке касательную невозможно. Виды разрывов на графике:

• Скачок (разрыв первого рода): график резко переходит с одного уровня на другой.
• "Выколотая" точка (устранимый разрыв): на сплошной линии графика есть одна отсутствующая точка.
• Вертикальная асимптота (разрыв второго рода): график уходит в бесконечность при приближении к точке.

Во всех этих случаях функция в точке разрыва недифференцируема.

2. Точка излома ("угол")

В точке излома график резко меняет направление. В такой точке невозможно провести единственную касательную. Слева и справа от точки излома существуют свои касательные, но их угловые коэффициенты различны. Это означает, что односторонние производные в точке $x_0$ не равны:

$f'_{-}(x_0) \neq f'_{+}(x_0)$

Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x_0 = 0$. Слева от нуля производная равна $-1$, а справа $+1$. Так как значения не совпадают, функция недифференцируема в нуле.

3. Точка возврата ("касп" или "клюв")

Это особый, более острый вид точки излома. В таких точках касательные с обеих сторон стремятся занять вертикальное положение. Односторонние производные при этом стремятся к бесконечности (например, одна к $+\infty$, а другая к $-\infty$).

Пример — функция $y = x^{2/3}$ в точке $x_0=0$. Её график в этой точке имеет "остриё", и функция в ней недифференцируема.

4. Вертикальная касательная

В этом случае график функции является непрерывным и гладким, но в одной точке касательная к нему становится строго вертикальной. Угол наклона такой касательной равен $90^\circ$, а её угловой коэффициент (тангенс) не определён (стремится к бесконечности). Поскольку производная и есть угловой коэффициент, она в такой точке не существует как конечное число.

Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x_0 = 0$. График в начале координат "выпрямляется" вертикально, поэтому функция недифференцируема в этой точке.

Ответ: Чтобы по графику функции сделать вывод о её дифференцируемости, нужно проверить, является ли график в анализируемой точке гладкой непрерывной кривой с невертикальной касательной. Функция недифференцируема в точках, где её график имеет: 1) разрывы любого вида; 2) острые изломы (углы); 3) точки возврата (каспы); 4) вертикальные касательные. Если же в точке и её малой окрестности график является гладкой линией без перечисленных особенностей, то функция в этой точке дифференцируема.