Номер 8, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 8, страница 186.

8. В чём состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной заключается в том, что она описывает поведение касательной к графику функции в конкретной точке.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$. Выберем на нем произвольную точку $M_0$ с координатами $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$. Возьмем также другую точку $M$ на этом графике, смещенную относительно $M_0$ на некоторое расстояние. Координаты точки $M$ будут $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $\Delta x$ — это приращение аргумента, а $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — соответствующее приращение функции.

Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей. Ее угловой коэффициент $k_{сек}$ (который равен тангенсу угла наклона секущей к положительному направлению оси абсцисс) вычисляется как отношение приращения функции к приращению аргумента: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Теперь представим, что мы начинаем двигать точку $M$ по графику к точке $M_0$. В этом случае приращение аргумента $\Delta x$ будет стремиться к нулю. Секущая $M_0M$ будет поворачиваться вокруг точки $M_0$, и ее предельное положение, когда $\Delta x \to 0$, называется касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0$.

Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ будет равен пределу, к которому стремится угловой коэффициент секущей: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{сек} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Таким образом, значение производной функции в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox, то: $f'(x_0) = k_{кас} = \tan \alpha$

Это позволяет, например, найти уравнение касательной к графику в точке $(x_0, f(x_0))$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.