Номер 4, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §27 - номер 4, страница 186.

Условие.

4. Напишите формулу для вычисления углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$, если известно, что в этой точке существует касательная, не параллельная оси ординат.

Решение 6.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, по своему геометрическому смыслу равен значению производной этой функции в данной точке.

Пусть $k$ — это искомый угловой коэффициент. Тогда для его нахождения необходимо вычислить производную функции $f(x)$, то есть $f'(x)$, и затем найти значение этой производной в точке $x = a$.

Таким образом, основная формула для вычисления углового коэффициента касательной:
$k = f'(a)$

Заданное в условии ограничение — «касательная... не параллельная оси ординат» — является принципиально важным. Оно означает, что касательная не является вертикальной прямой. Угловой коэффициент вертикальной прямой не определён (считается бесконечным). Это условие гарантирует, что производная $f'(a)$ в точке $x = a$ существует и является конечным числом.

Также, используя определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, формулу для углового коэффициента можно представить в развёрнутом виде:
$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Эта формула является фундаментальным определением, связывающим понятие касательной и производной.

Ответ: $k = f'(a)$, где $k$ — угловой коэффициент касательной, а $f'(a)$ — значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$.