Номер 5, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §27. ч. 1 - номер 5, страница 186.

5. Приведите пример графика функции, у которого касательную нельзя провести:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

а) в одной точке

Касательную к графику функции нельзя провести в точке, где функция не является дифференцируемой. Это происходит, например, в точках излома графика, где производные слева и справа не совпадают.

Рассмотрим в качестве примера функцию модуля $y = |x|$. График этой функции имеет излом в точке $x=0$.

Функцию можно записать в виде:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Найдем односторонние производные в точке $x=0$.

Производная справа (для $x > 0$): $y' = (x)' = 1$.

Производная слева (для $x < 0$): $y' = (-x)' = -1$.

Поскольку производная справа ($1$) не равна производной слева ($-1$), функция не является дифференцируемой в точке $x=0$. Следовательно, в этой единственной точке невозможно провести касательную.

Ответ: График функции $y = |x|$, у которого нельзя провести касательную в точке $(0, 0)$.

б) в двух точках

Чтобы получить функцию, у которой касательную нельзя провести в двух точках, можно создать график с двумя точками излома. Для этого подходит, например, функция $y = |x^2 - 1|$.

Точки излома возникают там, где выражение под знаком модуля меняет знак, то есть при $x^2 - 1 = 0$. Это происходит в точках $x = 1$ и $x = -1$.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1 \\ -(x^2 - 1) = 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1 \end{cases}$

Найдем односторонние производные в точках $x=-1$ и $x=1$.

В точке $x=-1$:

Производная слева (из $y=x^2-1$): $y' = 2x \implies y'(-1) = -2$.

Производная справа (из $y=1-x^2$): $y' = -2x \implies y'(-1) = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, в точке $x=-1$ касательную провести нельзя.

В точке $x=1$:

Производная слева (из $y=1-x^2$): $y' = -2x \implies y'(1) = -2$.

Производная справа (из $y=x^2-1$): $y' = 2x \implies y'(1) = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, в точке $x=1$ касательную также провести нельзя.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 1|$, у которого нельзя провести касательную в точках $x=-1$ и $x=1$.