Номер 2, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 2, страница 197.

2. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

2.

Объяснение основывается на геометрическом смысле производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).

Таким образом, справедливо соотношение: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.

В нашей задаче рассматривается функция $f(x) = y = \sin x$ в точке $x_0 = 0$.

1. Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$. Это даст нам угловой коэффициент $k$ касательной в этой точке:
$k = y'(0) = \cos(0)$.

3. Мы знаем, что значение косинуса нуля равно единице:
$k = \cos(0) = 1$.

4. Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти угол наклона $\alpha$, решив уравнение:
$\tan \alpha = k = 1$.
Из тригонометрии известно, что острый угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Именно поэтому касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угол наклона касательной к графику функции в точке $x_0$ определяется тангенсом этого угла, который равен значению производной функции $y'(x_0)$ в этой точке. Для функции $y = \sin x$ производная равна $y' = \cos x$. В точке $x_0 = 0$ значение производной $y'(0) = \cos(0) = 1$. Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то угол наклона касательной составляет $45^\circ$.