Номер 3, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 3, страница 197.

3. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Угол $\alpha$, который касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс, связан с производной функции в этой точке. По геометрическому смыслу производной, тангенс этого угла равен значению производной в точке касания: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции $y = \cos x$.
Производная функции косинуса равна минус синусу: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычислить значение производной в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение равно угловому коэффициенту $k$ касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу искомого угла $\alpha$.
$k = y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Зная, что значение синуса от $\frac{\pi}{2}$ равно 1, т.е. $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем значение углового коэффициента:
$k = -1$.

4. Найти угол $\alpha$ из уравнения $\tan \alpha = k$.
$\tan \alpha = -1$.
Угол, тангенс которого равен $-1$ и который находится в стандартном диапазоне для угла наклона прямой ($0^\circ \le \alpha < 180^\circ$), равен $135^\circ$.

Таким образом, мы подтвердили, что касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Ответ: Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение производной, которое равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox, составляет $y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Уравнение $\tan \alpha = -1$ для угла $\alpha$ из диапазона $[0^\circ, 180^\circ)$ имеет решение $\alpha = 135^\circ$.