Номер 5, страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §28. ч. 1 - номер 5, страница 198.

5. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.

Правило вычисления производной произведения двух функций, также известное как правило Лейбница, формулируется следующим образом: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

Если даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, которые дифференцируемы в некоторой точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ также дифференцируемо в этой точке. Производная произведения находится по формуле:

$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Для краткости эту формулу часто записывают так:

$(uv)' = u'v + uv'$

Доказательство правила:

Для доказательства воспользуемся определением производной. Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. Тогда:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Чтобы раскрыть это выражение, прибавим и вычтем в числителе одно и то же слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела суммы, разделим на два предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x)\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \left(u(x) \cdot \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$

Теперь воспользуемся свойством предела произведения:

$f'(x) = \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x)\right) + \left(\lim_{\Delta x \to 0} u(x)\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$

По определению производной, $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$.
Поскольку функция $v(x)$ дифференцируема, она непрерывна, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.

Подставляя эти значения в выражение, получаем итоговую формулу:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.