Номер 3, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §29. ч. 1 - номер 3, страница 203.

3. Объясните, почему в достаточно малой окрестности точки $x = a$ справедливо приближённое равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$, если $y = f(x)$ — дифференцируемая в точке $x = a$ функция.

Приближенное равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ справедливо для дифференцируемой в точке $x=a$ функции, потому что оно представляет собой линейную аппроксимацию функции в окрестности этой точки. Суть этого приближения можно объяснить как с алгебраической, так и с геометрической точек зрения, которые тесно связаны.

С алгебраической точки зрения, это равенство следует непосредственно из определения производной. По определению, функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x=a$, если существует конечный предел, называемый производной: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Смысл предела заключается в том, что при $x$, достаточно близком к $a$ (т.е. в малой окрестности точки $a$), значение выражения $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ становится сколь угодно близким к $f'(a)$. Это можно записать в виде приближенного равенства для $x$, близких к $a$: $$\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \approx f'(a)$$ Теперь выполним простые алгебраические преобразования. Умножим обе части на $(x-a)$, что возможно, так как $x \ne a$: $$f(x) - f(a) \approx f'(a)(x-a)$$ И, наконец, перенесем $f(a)$ в правую часть: $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$$ Это и есть искомое приближенное равенство. Точность этого приближения тем выше, чем ближе $x$ находится к $a$.

С геометрической точки зрения, выражение $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ является уравнением касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(a, f(a))$. Само существование производной в точке (дифференцируемость) гарантирует, что у графика функции в этой точке есть касательная. Основное свойство касательной состоит в том, что она наилучшим образом приближает график функции вблизи точки касания. Если мы будем "увеличивать" масштаб графика в окрестности точки $(a, f(a))$, кривая $y=f(x)$ будет становиться все более похожей на прямую линию — свою касательную. Таким образом, приближенное равенство просто констатирует тот факт, что для $x$, близких к $a$, значения функции $f(x)$ можно аппроксимировать значениями на ее касательной.

Ответ: Данное приближенное равенство справедливо, потому что оно является следствием определения производной. Для $x$ в малой окрестности точки $a$, отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ близко к своему пределу $f'(a)$, из чего алгебраически следует искомая формула. Геометрически это означает, что график дифференцируемой функции в малой окрестности точки $(a, f(a))$ очень хорошо аппроксимируется своей касательной, уравнение которой и есть $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.