Номер 7, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 7, страница 215.

7. Начертите график непрерывной функции, у которой точка $x = 1$ является стационарной, но не является точкой экстремума.

Для решения задачи необходимо построить график функции, которая удовлетворяет трём условиям:
1. Функция $y=f(x)$ должна быть непрерывной. Это означает, что её график можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги.
2. Точка $x=1$ должна быть стационарной. Стационарная точка — это точка, в которой производная функции равна нулю, то есть $f'(1) = 0$. Геометрически это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна.
3. Точка $x=1$ не должна быть точкой экстремума (локального максимума или минимума). Это означает, что при переходе через точку $x=1$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак. То есть функция продолжает возрастать (если она возрастала до этой точки) или убывать (если убывала).

Таким условиям удовлетворяют, например, функции вида $y = a(x-x_0)^n+b$, где $n$ — нечетное число больше 1, а $x_0$ — абсцисса стационарной точки.

Рассмотрим в качестве примера простейшую такую функцию, у которой стационарная точка находится в $x=1$:
$y = (x-1)^3$.

Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям.

1. Непрерывность.
Функция $y=(x-1)^3$ является многочленом (кубической функцией), а все многочлены непрерывны на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

2. Наличие стационарной точки в $x=1$.
Найдем производную функции:
$y' = ((x-1)^3)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
Таким образом, точка $x=1$ является единственной стационарной точкой функции.

3. Отсутствие экстремума в точке $x=1$.
Исследуем знак производной $y' = 3(x-1)^2$ в окрестности точки $x=1$.
Выражение $(x-1)^2$ неотрицательно при любом значении $x$ (оно равно нулю только при $x=1$ и положительно во всех остальных случаях).
- Слева от точки $x=1$ (например, при $x=0$): $y'(0) = 3(0-1)^2 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- Справа от точки $x=1$ (например, при $x=2$): $y'(2) = 3(2-1)^2 = 3 > 0$. Функция возрастает.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=1$, эта точка не является точкой экстремума. Такая точка называется точкой перегиба с горизонтальной касательной.

Построение графика.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- При $x=1, y = (1-1)^3 = 0$. Точка перегиба — $(1, 0)$.
- При $x=0, y = (0-1)^3 = -1$. Точка — $(0, -1)$.
- При $x=2, y = (2-1)^3 = 1$. Точка — $(2, 1)$.
- При $x=-0.5, y = (-0.5-1)^3 = -3.375$. Точка — $(-0.5, -3.375)$.
- При $x=2.5, y = (2.5-1)^3 = 3.375$. Точка — $(2.5, 3.375)$.
График функции — кубическая парабола, смещенная на 1 единицу вправо по оси $Ox$.

Ответ:
График функции $y=(x-1)^3$ является примером непрерывной функции, у которой точка $x=1$ — стационарная, но не является точкой экстремума. В точке $(1,0)$ касательная к графику горизонтальна, при этом функция возрастает на всей области определения.