Номер 8, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 8, страница 215.

8. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

Теорема о необходимых условиях экстремума (Теорема Ферма)

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум (то есть локальный максимум или локальный минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$

Пояснения к теореме

• Локальный экстремум: Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что для всех $x \in U(x_0)$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Аналогично, $x_0$ — точка локального минимума, если для всех $x \in U(x_0)$ выполняется $f(x) \ge f(x_0)$.
• Необходимое, но не достаточное условие: Теорема утверждает, что равенство производной нулю является необходимым условием для существования экстремума у дифференцируемой функции. Это означает, что если в точке дифференцируемости есть экстремум, то производная там обязательно ноль. Однако обратное неверно: если производная равна нулю, это еще не гарантирует наличие экстремума. Например, для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$ производная $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$, но в этой точке нет экстремума (это точка перегиба).
• Критические точки: Точки из области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Теорема Ферма говорит о том, что экстремумы следует искать именно среди критических точек функции. Точки, где производная равна нулю, также называют стационарными.

Доказательство

Пусть для определённости точка $x_0$ является точкой локального максимума. Это значит, что существует такая $\delta$-окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что для любого $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$, или, что то же самое, $f(x) - f(x_0) \le 0$.

По условию, функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то есть существует её производная, которая определяется как предел: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$ Поскольку предел существует, он равен как правостороннему, так и левостороннему пределу.

1. Рассмотрим приращение аргумента $\Delta x > 0$ (так, чтобы $x_0 + \Delta x$ оставалось в $\delta$-окрестности). Тогда знаменатель в дроби $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ положителен. Числитель $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$. Следовательно, вся дробь не положительна: $$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$$ При переходе к пределу при $\Delta x \to 0^+$ (справа) знак нестрогого неравенства сохраняется, поэтому правосторонняя производная $f'_+(x_0) \le 0$.

2. Рассмотрим приращение аргумента $\Delta x < 0$. Тогда знаменатель в дроби отрицателен. Числитель $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$. Следовательно, вся дробь не отрицательна (как отношение двух не положительных/отрицательных чисел): $$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$$ При переходе к пределу при $\Delta x \to 0^-$ (слева) знак нестрогого неравенства также сохраняется, поэтому левосторонняя производная $f'_{-}(x_0) \ge 0$.

Так как функция дифференцируема в точке $x_0$, её левосторонняя и правосторонняя производные равны производной: $f'(x_0) = f'_{-}(x_0) = f'_+(x_0)$. Из полученных неравенств $f'(x_0) \le 0$ и $f'(x_0) \ge 0$ следует, что возможно только одно: $$f'(x_0) = 0$$

Доказательство для случая локального минимума проводится аналогично, но знаки неравенств для отношения приращений будут обратными.

Геометрический смысл

Геометрический смысл производной $f'(x_0)$ — это тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Условие $f'(x_0) = 0$ означает, что тангенс угла наклона равен нулю, а значит, и сам угол наклона равен нулю. Таким образом, касательная к графику функции в точке экстремума (если она существует) параллельна оси абсцисс (то есть горизонтальна).

Замечания

Важно помнить, что теорема говорит об экстремумах во внутренних точках области определения, где функция дифференцируема. Экстремум может достигаться также:

• В точках, где производная не существует. Классический пример — функция $f(x)=|x|$, которая имеет минимум в точке $x_0=0$, но производная в этой точке не определена.
• На концах отрезка, на котором рассматривается функция.

Поэтому при поиске всех точек экстремума функции на отрезке $[a,b]$ необходимо проверять стационарные точки (где $f'(x)=0$), точки, где $f'(x)$ не существует, и концы отрезка $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Теорема о необходимых условиях экстремума (также известная как теорема Ферма) утверждает, что если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке должна быть равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.