Номер 2, страница 214, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §30. ч. 1 - номер 2, страница 214.

2. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Какое из утверждений верно:

a) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция немонотонна на $X$?

Для определения характера монотонности функции $y = f(x)$ на заданном промежутке $X$ используется её первая производная $f'(x)$. Существует фундаментальное правило в дифференциальном исчислении, которое связывает знак производной с поведением функции (достаточное условие монотонности):

• Если во всех точках промежутка $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если во всех точках промежутка $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

В условии задачи дано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Это означает, что первая производная функции отрицательна на всем рассматриваемом промежутке.

Исходя из этого, проанализируем предложенные утверждения:

а) функция убывает на X
Это утверждение является прямым следствием правила, упомянутого выше. Поскольку $f'(x) < 0$ на всем промежутке $X$, функция является убывающей на этом промежутке. Таким образом, это утверждение верно.

б) функция возрастает на X
Это утверждение неверно. Для возрастания функции на промежутке $X$ необходимо, чтобы ее производная была положительной ($f'(x) > 0$), что противоречит условию задачи.

в) функция немонотонна на X
Это утверждение также неверно. Функция является немонотонной на промежутке, если на нем есть участки и возрастания, и убывания. Это означало бы, что производная $f'(x)$ должна менять свой знак на промежутке $X$. Однако, по условию, знак производной постоянен и отрицателен. Следовательно, функция является монотонной (конкретно, монотонно убывающей).

Ответ: а) функция убывает на X.